⒄庋幕停ǚ鸦峒本缭黾樱钦庋纳杓贫ㄎ荒芊袷视κ谐』共恢溃欢Ｖ寡兄平挂郧暗耐蹲矢吨疃鳌Ｋ孀叛兄乒ぷ鞯纳钊耄歉俏薹ㄗ鞒鐾Ｖ寡兄乒ぷ鞯木龆āＰ头苫钪昭兄瞥晒Γ蚍苫娜毕荩ㄈ绾挠痛蟆⒃胍舸蟆⑽廴狙现氐鹊龋皇屎鲜谐。钪毡皇谐√蕴⒎ㄕ嗣墒芎艽蟮乃鹗АＴ谡飧鲅兄乒讨校绻⒎ㄕ芗霸绶牌苫目⒐ぷ鳎崾顾鹗Ъ跎伲敲荒茏龅健�
4．警察与小偷的故事——混合策略问题
纳什在《n人博弈的均衡点》这篇论文中，给出了均衡存在的简单证明，纳什说，在n个人的博弈中至少存在着一个均衡，在这点上双方均不愿意先改变策略。这里的均衡点有可能是混合策略点。人们称它为纳什定理。
什么是混合策略？
警察部门负责一城市中某一区的治安。警察要对该区的A、B两地进行巡逻。假定该区有一群小偷，要实施偷盗。警察要防止小偷的偷盗，但因为设备有限，只有一部警车，因此，警察只能一次在一个地方巡逻。而对于小偷而言，他们也只能去一个地方。假定A地需要保护的财产价值为2万元，B地的财产价值为1万元。若警察在某地进行巡逻，而小偷也选择了去该地，因警察在场，小偷无法偷盗该地的财物；若警察没有去某地巡逻而小偷选择了去该地，则小偷偷盗成功。警察怎么巡逻才能使效果最好？
博弈案例（3）
一个明显的做法是，警察对A地进行巡逻，小偷去B地，这样，警察可以保住2万元的财产不被偷窃，小偷的收益为1万元。但是这种做法是警察的最好做法吗？有没有对这种策略改进的措施？
我们可以将警察与小偷之间的这个支付写成如下的支付矩阵。警察巡逻某地，偷盗者在该地无法实施偷盗，假定此时小偷的得益为0（没有收益），此时警察的得益为3（保住3万元）。
这个博弈也是常和博弈，它没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与者的最优（混合）策略选择。
由此可见：纯策略是参与者一次性选取的，并且坚持他选取的策略；而混合策略是参与者在各种备选策略中采取随机选取的。在博弈中，参与者可以改变他的策略，而使得他的策略选取满足一定的概率。
当博弈是零和博弈与常和博弈时，即一方所得是另外一方的所失时，此时只有混合策略均衡。对于任何一方来说，此时不可能有纯策略的占优策略。
5《三国演义》中的空城计与信息不对称的博弈
如果我们用博弈论的眼光看《三国演义》，三国演义完全是一部记载着许多博弈案例的著作。当然，罗贯中不可能用“博弈”一词。如果我们用一词来概括《三国演义》，这个词就是“计”。计，即计策或策略也。用计，即用策略赢对方。用计算敌，不仅要自己选择恰当的计策，而且要算准对方用什么计策，这不就是博弈？现在让我们看《三国演义》中著名的空城计博弈。
诸葛亮误用马谡，致使街亭失守。司马懿引大军十五万蜂拥而来。当时孔明身边别无大将，只有一班文官，五千军士，已分一半先运粮草去了，只剩二千五百军士在城中。众官听得这个消息，尽皆失色。孔明登城望之，果然尘土冲天，魏兵分两路杀来。孔明传令众将旌旗尽皆藏匿，诸军各收城铺。打开城门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街道。而孔明乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前凭栏而坐，焚香操琴。司马懿自飞马上远远望之，见诸葛亮焚香操琴，笑容可掬。司马懿顿然怀疑其中有诈，立即叫后军作前军，前军作后军，急速退去。司马懿之子司马昭问：“莫非诸葛亮无军，故作此态，父亲何故便退兵？”司马懿说：“亮平生谨慎，不曾弄险。今大开城门，必有埋伏。我兵若进，中其计也。”孔明见魏军退去，抚掌而笑，众官无不骇然。诸葛亮说，司马懿“料吾生平谨慎，必不弄险；见如此模样，疑有伏兵，所以退去。吾非行险，盖因不得已而用之”，我兵只有二千五百，若弃城而去，必为之所擒。
这就是为后人广为传颂的空城计。这是一个信息不对称的博弈。
这里，司马懿不知道自己和对方在不同行动策略下的支付，而诸葛亮是知道的，他们对博弈结构的了解是不对称的，诸葛亮拥有比司马懿更多的信息，当然有。这种信息的不对称完全是诸葛亮“制造出来的”。因此这是一个信息不对称的博弈。
在这里，孔明可以选择的策略是“弃城”或“守城”。无论是“弃”还是“守”，只要司马懿明确知道他自己的支付，那么孔明均要被其所擒。孔明惟一的办法就是不让司马懿知道他自己的策略结果。他的空城计是降低司马懿进攻的可能收益，使得司马懿认为，后退比进攻要好。
司马懿孔明进攻后退守城（被擒，大胜）（逃脱，不胜不败）弃城（被擒，大胜）（逃脱，不胜不败）
在信息不充分的情况下，博弈参与者不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的“期望支付（或效用）”最大。比如：如果让你在“有50％的可能获得100元”与“有10％的可能获得200元”两者之间进行选择，你当然选前者，因为前者的“期望所得”为：50％×100=50元，而后者为：10％×200元=20元。理性的人是选择前者的。
在孔明—司马懿的博弈中，孔明了解双方的局势，制造空城假象的目的就是让司马懿感到进攻有较大的失败的可能。如果我们用概率论的术语来说，诸葛亮的做法是加大司马懿对进攻失败的主观概率。此时，在司马懿看来，进攻失败的可能性较大，而退兵的期望效用大于进攻的期望效用。即：司马懿认为进攻的期望效用低于退兵的效用。诸葛亮惟有通过这个办法，才能让司马懿退兵。
司马懿想，诸葛亮一生谨慎，不做险事，只有设定埋伏才可能如此镇定自若，焚香操琴。此时，司马懿觉得“退”比“进攻”更合理，或者说期望效用更大。于是后军变前军，前军变后军，后退而去。结果是诸葛亮得以逃脱。
司马懿对局势的判断不是没有道理的，他对诸葛亮的判断是基于以前的认识，这就是“归纳法”，我们会在第六章中讨论归纳法在博弈中的作用及其局限。
空城计博弈是不完全信息博弈，我们说过《三国演义》是一本博弈实战教材，在该书中有完全信息博弈实例吗？当然，曹操与诸葛亮的华容道博弈就是一个完全信息博弈。
曹操亲领八十万大军进攻东吴，孙权和刘备联合破曹，曹军大败。曹操引兵而逃。经过一路厮杀，来到一处，军士报：前方有两条道路，请问丞相走哪条路？曹操问：哪条路近？军士说：大路稍平，却远五十余里。小路投华容道，却近五十多里。曹操令人上山观望，回报：小路山边有数处狼烟，大路并无动静。曹操叫走华容道。诸将问：烽烟起处必有军马，何故反走这条路？曹操说：岂不闻兵书有云：“实则虚之，虚则实之”。诸葛亮多谋，故使人于山僻放烟，使我军不敢从这条路走，他却伏兵于大路等着。吾已料定，偏不教中他计。诸将皆曰：丞相妙算，人不可及。遂曹兵走华容道。但关羽依着诸葛亮的妙计在华容道等着曹操，于是关羽上演了一场“只为当初恩义重，放开金锁走蛟龙”的捉放曹的义举。逃过华容道大难，曹操只剩二十七骑！
博弈案例（4）
在曹操与诸葛亮之间的这一华容道博弈中，曹操的策略是在走华容道还是走大路之间进行选择，而诸葛亮派关羽埋伏时，要在埋伏在大路还是埋伏在通往华容道的小路之间进行选择。
华容道博弈曹操诸葛亮华容道大路——0。1华容道（捉住曹操，被捉）（白等，逃脱）大路（白等，逃脱）（捉住曹操，被捉）
这个博弈如同猜硬币的游戏一样，是一“零和博弈”所谓“零和博弈”是指双方的得益之和为一常数零，一方所得增加，另一方所得便减少。而“变和博弈”是指博弈双方的所得之和为一变数。，它没有纳什均衡点。双方对博弈有完全的信息，各种策略下的博弈支付是公共知识——我们下一章将说明什么是公共知识。但双方无法知道对方的策略选择，而只能进行猜测。曹操要选择走诸葛亮的军队不在的路，这是他的最优的结果。而诸葛亮的最优结果是埋伏在曹操要走的路上。
诸葛亮制造埋伏在大路的假象，其实则派关羽埋伏在小路。这里关键是谁能真正猜到对方的策略，谁就是赢家。诸葛亮胜曹操一筹。这个博弈不存在纯策略纳什均衡点，博弈结果是：曹操选择了走华容道，结果被抓；关羽在华容道守候，抓住了曹操。
公共知识与博弈
博弈专家们发现在博弈中存在着公共知识的问题。让我们来看一下什么是公共知识。
要弄清什么是公共知识，首先要弄清什么是知识。
所谓知识是人对真的信念。知识是人们对自然中某个事实的认识，我们说某人拥有某种知识，意指某人知道某个事实。“地球绕着太阳转”是个事实，但哥白尼之前的人们并不知
道这个事实，而今天这个事实已几乎被所有人熟知，并且人们相信这个事实，于是“地球绕着太阳转”构成人们的知识。因此知识涉及三个因素：
第一，人们了解的事实对象要是真的，假的事实不能成为知识。人们可能相信虚假的东西，但它们不能构成相信它们的人的知识。在偏僻的乡村，人们相信，人的病是由鬼怪引起的，巫婆通过某些迷信活动能够驱除鬼怪从而达到治病的目的，这当然只是错误的信念，而不是知识。再比如：在古代，中国人认为雷电是由掌管雷电的雷公行云布雨的结果，这当然也不是真的事实。假的信念有时对信念拥有者有一定的效果，但不构成相信者的知识