群体1
群体2
群体3
A
B
C
B
C
A
C
A
B
我们先让投票者对A和B进行投票。由于群体1和群体3均认为“A优于B”，群体2认为“B优于A”，这样，在这轮投票中A以2比1战胜B。
我们再让这三个群体对B和C进行投票。群体1和群体2认为“B优于C”，群体3认为“C优于B”，投票结果是：B以2比1战胜C。
既然A战胜了B，B又战胜了C，似乎是，如果对A与C进行投票，A应当战胜C。对于任何一个理性的投票人，这是自然的。但是，当群体对A和C进行投票时，C以2比1战胜了A！
这就是阿罗悖论，又称为孔多塞投票悖论、循环投票悖论。当然，投票中不是任何时候都会产生投票悖论。三个群体对3个方案的可能偏好状态为216个，出现悖论的状态是6个，即悖论的可能性是1/36即。
投票悖论这个现象所反映的问题具有重大的理论意义，它反映了在社会加总成员偏好过程中，存在致命的缺陷，这正是著名的“阿罗不可能性定理”所揭示的。
这个例子反映的道理是深刻的。如果社会对几个方案进行表决，如国家选举总统、某个城市让市民决定先修建哪个公共事业工程，等等，这个例子说明，社会投票很可能得出矛盾的结果。
对于社会的选择问题，阿罗认为，在非*的情况下，不存在任何加总社会个体成员偏好的方法。
所谓加总社会偏好即找到一个社会偏好函数，阿罗提出了这样的函数要满足4条公设：第一，定义域不受限制，即适合所有的个人的偏好类型；第二，非*，即社会偏好不以一个人或少数人的偏好来决定；第三，帕累托原则，即所有人的偏好都认为a优于b，那么社会偏好也是a优于b；第四，独立性，即不管个人对除了a与b的其他的偏好顺序发生什么变化，只要所有个人对a与b的偏好不变，那么社会对a与b的偏好不变。
这4条公设是基本的，或者自明的。但是，阿罗论证了不存在这样的社会福利函数。我们设计出来的揭示偏好的选举方法，其结果不具有传递性，从而会产生矛盾。我们在数学中的“大于（》）”的关系是具有传递性的：如果a》b，并且b》c，那么a》c。如果社会选举的结果是“a优于b”，“b优于c”并且“a优于c”，那么社会偏好就是满足传递性的，但事实上，在非*的情况下我们往往做不到。这就是阿罗不可能性定理的意思。
阿罗定理指的是，社会没有一种客观地反映群体的社会偏好的方法。如果某种偏好得以反映出来，如台湾*当选“总统”，或者小布什而不是戈尔当选美国第53任总统，那完全取决于所确定的“*”的选举规则。另外一套规则得出的完全可能是另外一种结果。
戈尔比小布什多几十万张选票，然而美国实行的投票人制度是，谁获得了某一州的多数票，那么他就获得该州所分配的选举人的选票，小布什与戈尔之争的关键是佛罗里达州的选举结果，小布什获胜就在于他以微弱优势获得了佛罗里达州的25张选举人票。最后，小布什与戈尔的选票之比为277∶266。小布什获胜。
你会说，通过一次性投票来决定谁当选，即对候选人或候选方案进行一次性表决，这应该是合理的。但是，这很有可能让选民最不喜欢的人或方案当选。
举一个例子。假定有4个候选人，他们是A、B、C、D，假定有26％的人“最喜欢”A，各有25％的人“最喜欢”B和C，有24％的人“最喜欢”D。现在进行一次性投票，A当选。而很有可能的是“最喜欢”B、C、D的那些人“最不喜欢”A，即：“最不喜欢”A的人有74％！在这种规则下，最多人“最不喜欢”的候选人当选了！这样的规则合理吗？很有可能的是，台湾的*就是这里的A。
如果有一种确定了的规则，并且候选人的竞选纲领在选民心里得到确切的定位，即每个选民对不同的候选人确定了其偏好程度，那么结果是确定的。而为什么不同的候选人同意同样的规则呢？因为，每个候选人总会尽量以其竞选纲领及个人魅力赢得选民的偏好。这里有一个真理：假如你的竞选纲领及个人魅力赢得了所有的选民，即对所有选民进行偏好排序，你都是在最前面的，那么在任何选举规则下你都会被选中。同样，如果你永远排在最后面，那么无论什么规则，你都不会选中。这一点可以用数学证明。
同时，候选人接纳某种*的选举规则而参与竞选，是因为他无法预先知道每个选民的偏好。*的选举是人们以此来揭示选民的心理排序情形的方法。阿罗不可能性定理正说明了人的有限理性的悖论。
此外，阿罗定理说的是，社会的选择方法不可能既是有效率的，又是*的。因为循环投票本身就是无效率的，而有效率的方式必须是*的。这就再次揭示了*和效率的矛盾。当然也有可能是，有效率的*方式能够揭示民意——当*者和所有的臣民想法相同，但是现实中怎么知道臣民的偏好呢？除非他是上帝，否则揭示臣民的偏好必须通过某种方式，即通过*的程序来进行。这就是为什么中国的封建统治者常常以上天的儿子即“天子”自居。
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革命：另外一种投票方式（1）
投票是加总社会中各个人偏好的一种方式。我们已说明，无论哪种投票制度都是不完善的，之所以采用是因为对所有的候选人来说是公平的。对于群体选择，或者表达群体偏好，还存在另外的方法——革命，或者如毛泽东所说的“枪杆子里面出政权”。革命是极端的投票方式。一个合理的社会将不断地调整社会财富的分配，如所得税率实行低收入低征乃至于不征，高收入按高比率征收的方法。当财富集中在少数人手里时，两极分化严重，社会出现极度的不公正，对一社会来说隐藏着巨大的社会危机。危机意味着革命的发生。
什么是革命？革命是政治学范畴，如果从经济学范畴来说，革命就是社会财富的再分配。在经济学里有边际效用递减规律。所谓效用是指物品对人的需要或欲望的满足程度，而边际效用指的是消费者在消费物品时所消费的每一单位物品给他的满足程度。比如：某人一顿吃了3碗饭，每一碗饭给他一个效用；一富豪买了一辆奔驰车后又买了第二辆奔驰车，他买第一辆奔驰车和第二辆奔驰车时的满足程度是不同的。这就是边际效用的概念。
边际效用递减规律说的是，消费者在消费物品时，每一单位物品对消费者的效用是不同的，它们呈递减关系。无论是饿着肚子的人还是饱食终日的人，第一碗饭给他的效用最大，第二碗饭则没有那么大的效用了，吃到一定程度后，再吃的话，饭给他的效用是负的，即不仅不能给他好处，反而是负担。对买车的人也一样，当他买了第一辆奔驰车时，他感到方便很多，同时有巨大的心理满足感。当他买第二辆奔驰车时，他不能同时用两辆车，这第二辆车给他的方便及满足感会没有第一辆车大。当然第二辆车会体现他的成功，从而增加他的炫耀资本，此时总的效用是增加的，但增加的幅度没有他买第一辆车时增加的幅度大。如果他继续购买车，他想，买了车后，既要雇司机，又要准备停车的车库，同时要防范窃贼的光顾，等等，会感觉到得不偿失。这第三辆车给他带来的效用更低了。
可以这么认为，边际效用递减规律是关于人的规律，正如诺贝尔奖获得者H。西蒙提出的关于人的理性是有限的看法，它们均为关于人的假设。
人的边际效用是递减的，那么将财富从富人那里部分地转移到穷人那里似乎是合理的，此时富人的效用减少了，但减少得不多，但穷人增加的效用则很大。如果一个社会贫富悬殊过大，政府又没有调节好贫富之间的关系，那么革命就有可能发生。
劫富济贫从来就是不合法但被颂扬的行为，因为它增进了大多数人的效用，在政府无力的时候，这是惟一的增进社会总的效用的方式。抢夺富人接济穷人，或者因生活潦倒、无法生存而去抢夺富人的东西以活命，同样增进社会的效用。当然，抢劫穷人的物品来为自己享用是土匪行径，这种行为是可耻的。
从这个意义上说，革命就是多数人通过暴力对少数人的财富进行剥夺和再分配，因此它是一种偏好的表达方式，是非和平的方式，而不像投票那样的和平方式。之所以要采取暴力的方式，是因为，一般情况下，理性的财富拥有者是不会自动地将财富分给穷人的，慈善者除外。
革命不同于*的选举方式和*化的决策方式，革命是非理性的。如果一个社会有合理地表达人民意愿（或偏好）的程序或方法，那么革命就不会发生。但是正如我们上面说的那样，由于不可能有一种绝对合理的*决策方式，任何决策方式本身都只是一种在某种程度上揭示偏好的方法而已。因此，任何社会都不能排除革命的可能。
革命：另外一种投票方式（2）
在*社会里人民的偏好得到一定程度的表达，发生革命的概率较低。一般情况下，革命不是发生在专制社会里，就是发生在前*的社会里，前者完全没有表达人民意愿的机会，后者表达人民意愿的机制尚不完善。一个完善的社会制度存在一个渐进完善的机制，可以在某种程度上化解革命的发生，这样才能避免社会震荡。
中国古代的朝代更替就是震荡式的。专制社会没有人民表达意愿的机会，再加上“家天下”的政治机制不存在“退出”机制，人民只能以激烈的方式来表达自己的意愿。
因此，对于社会来说，关键不在于它现在的体制多么不完善、政治架构多么不合理，而在于它是否有一个合理改进的机制，从而使得制度渐进合理。
1用支付矩阵表示一个两个人的博弈为2005年诺贝尔经济学奖得主托马斯·谢