现在让我们进一步提出这样一个问题：－１的平方根是多少？
对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋１，因为＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因为－１的自乘同样是＋１。当然，（＋１）×（－１）＝（－１），但这是两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。
这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，譬如说＃１，而且给它以如下的定义：＃１是自乘时会得出－１的数，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。
但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给这种数一个专门的符号“ｉ”（imaginary）。我们可以把正虚数写为（＋ｉ），把负虚数写为（－ｉ），而把＋１看作是一个正实数，把（－１）看作是一个负实数。因此我们可以说√￣（－１）＝±ｉ。
实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋５，－１７．３２，＋３／１０等实数一样，我们也可以有＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虚数。
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
假如你用一条以０点作为中点的直线来表示一个正实数系统，那么，位于０点某一侧的是正实数，位于０点另一侧的就是负实数。
这样，当你通过０点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上０点的一侧的数是正虚数，０点另一侧的数是负虚数。这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所有的数都表示出来。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或（＋３）＋（－２ｉ）。这些数就是“复数”。
数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他们就无法做到这一点了。
第7节
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和１的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，１５＝３×５，所以１５不是素数；又如，１２＝６×２＝４×３，所以１２也不是素数。另一方面，１３除了等于１３×１以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以１３是一个素数。
有的数，如果单凭印象去捉摸，是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数，不管它有多大，只要它的个位数是２、４、５、６、８或０，就不可能是素数。此外，一个数的各位数字之和要是可以被３整除的话，它也不可能是素数。但如果它的个位数是１、３、７或９，而且它的各位数字之和不能被３整除，那么，它就可能是素数（但也可能不是素数）。没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这个数表示为两个比它小的数的乘积。y米y花y书y库y ；__
找素数的一种方法是从２开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到１００００）。第一个数是２，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被２整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在２后面的是３，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被３整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是５，然后往后每隔４个数删去一个，以除去所有能被５整除的数。再下一个数是７，往后每隔６个数删去一个；再下一个数是１１，往后每隔１０个数删一个；再下一个是１３，往后每隔１２个数删一个。……就这样依法做下去。
你也许会认为，照这样删下去，随着删去的数越来越多，最后将会出现这样的情况；某一个数后面的数会统统被删去因此在某一个最大的素数后面，再也不会有素数了。但是实际上，这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大，百万也好，万万也好，总还会有没有被删去的、比它大的素数。
事实上，早在公元前３００年，希腊数学家欧几里得就已证明过，不论你取的数是多大，肯定还会有比它大的素数，假设你取出前６个素数，并把它们乘在一起：２×３×５×７×１１×１３＝３００３０，然后再加上１，得３００３１。这个数不能被２、３、５、７、１１、１３整除，因为除的结果，每次都会余１。如果３００３１除了自己以外不能被任何数整除，它就是素数。如果能被其它数整除，那么３００３１所分解成的几个数，一定都大于１３。事实上，３００３１＝５９×５０９。
对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数，都可以这样做。如果算出了它们的乘积后再加上１，那么，所得的数或者是一个素数，或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大，总有比它大的素数，因此，素数的数目是无限的。
随着数的增大，我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对，如５，７；１１，１３；１７，１９；２９，３１；４１，４３；等等。就数学家所能及的数来说，他们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限个呢？谁也不知道。数学家认为是无限的，但他们从来没能证明它。这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因。素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题，他们目前还没能对付这个挑战哩。
这个问题到底有什么用处呢？它除了似乎可以增添一些趣味以外，什么用处也没有。
碧声注：一点用处也没有吗？……听说在密码方面很有用哩。
第8节
这是一个经过无数次反复辩论的古典难题。
在我把答案告诉你之前，有必要先明确以下几点。凡是按合理的技巧来探索宇宙秘密的“游戏”，也要和其他游戏一样，必须遵循一定的规则来进行。当两个人要在一起进行有意义的讨论时，他们首先必须就以下两点取得一致：第一，双方所使用的符号（字眼或其它）都应当代表一定的涵义；第二，双方都必须按照这种涵义来表达自己的意见。
凡是按一致同意的定义讲不清的问题，都应当扔在一边。这样的问题是没有任何答案的，因为这样的问题根本就不应该提出来。
例如，假定我提出这样一个问题：“正义有多重？”也许我正在想象一个手里拿着秤的瞎眼审判官的形象。
但是，重量是质量的一种性质，只有物质才有质量。确实，如果要给物质下一个最简单的定义，可以把它定义为“有质量的东西”。
正义并不是一种物质，而是一种抽象的东西。根据定义，质量并不是正义的一个特性，所以问正义有多重，是提出一个无意义的问题。这是一个没有答案的问题。
又如，通过一系列非常简单的代数运算，我们有可能证明１＝２。唯一的麻烦是，在证明的过程中，我们必须除以０。为了避免这类会引起麻烦的等式（更不用说其他一些会把数学的有用性毁掉的证明了），数学家曾规定在任何数学运算中都不允许应用“除以零”这个算式。因此，“分数２／０的值是多少”这个问题，也违背了“游戏”的规则，因而也是没有意义的。这个问题也没有答案。
现在，我们可以回过头来回答上面所提出的问题了：当一个不可抗拒的力遇到一个什么力都不能使之运动的物体时，将会发生什么情况？
所谓“不可抗拒的力”，按定义（如果这些字确实有一定涵义的话），就是一种无法抗拒的力，也就是任何物体（不管这个物体有多大）遇到它都会发生运动或遭到毁灭，但其本身则不会发生可觉察到的削弱或偏转的力。因此，宇宙中只要有这种不可抗拒的力，就不可能有一个什么力都不能使之运动的物体，因为我们刚才已经把不可抗拒的力定义为能使一切东西发生运动的力了。
所谓“什么力都不能使之运动的物体”，按定义（如果这些字确实有一定涵义的话），无非就是任何力（不管这个力有多大）遇到它都将被它所吸收、而它则不会因为这个力而发生可觉察的变化或损伤的物体。在任何一个存在这样一个物体的宇宙中，就不可能同时存在不可抗拒的力这类东西，因为我们刚才已经把什么力都不能使之运动的物体定义为一个能抵抗任何力的物体了。
由此可见，如果我们所提的问题是说这两样东西（不可抗拒的力和什么力都不能使之运动的物体）同时存在的话，那么，我们所提的问题显然已经背离了这两个词本身所包含的定义，而这是这种推理游戏的规则所不允许的。因此，这个问题是一个没有意义的问题，它是没有答案的。
你也许会提出一个疑问：定义既然可以被定得如此严密，那么，岂非任何人都不可能提出无法回答的问题了吗？正如我们在回答前面第４个问题（碧声注：关于戈德尔证明的问题）所解释的，事实当然并不是这样。
第9节
实际上，这个问题不可能有肯定的答案，这首先是因为没有人能确切地知道宇宙有多大。但是，我们可以作一些假设。
有人曾作过一个估计，认为在我们这个宇宙中大约有１００，０００，０００，０００（亦即１０11）个星系。这些星系，平均来说，每一个的质量都比太阳的质量大１００�
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