正如以前曾指出的那样，采用严重有偏的样本几乎能够产生任何人需要的任何结果。只要样本容量足够小，或者你尝试足够多的次数，正确的随机样本也可以达到上述效果。
“用户反映使用多克斯（Doakes）牌牙膏将使蛀牙减少23％”，大字标题历历在目。你希望减少23％的痛苦，于是接着往下读。你发现这些结论出自一家信誉良好的“独立”实验室，并且还经过了注册会计师的证实。有了这些，你还想知道什么呢？
然而，如果你不是特别容易轻信他人，或者不是一个盲目乐观的人，经验将告诉你：一种牙膏很难比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎样制造了上述结论？如果是说谎，但用大字标题报道这些谎言，他们又如何能够逃避责任呢？事实是，他们根本无需说谎，下面便是简单而有效的方法。
这里的主要把戏是不充分的样本——统计角度的不充分。但对于多克斯公司来说已经足够了。只有当你读小字体的文字时才会发现：被测试的用户仅由12人组成。单凭这点，你便不得不佩服多克斯公司，它留给你一个可能知道全部情况的机会。有的广告商索性将类似的文字都略去，留给读者——即便他是一个老练的统计专家——一个猜想：这里面到底玩了什么把戏？从这个角度来说，多克斯公司由12个人组成的样本还不算太坏。几年前，一种叫做可尼斯博士（Dr。 Cornish）的牙粉上市了，并宣传“在治疗龋齿方面获得了极大成功”，因为该牙粉中含有尿素，而经过实验室的证明，尿素对于治疗龋齿是有益的。然而，由于实验室的工作只是刚刚起步，仅仅建立在6个案例之上，毫无疑问这个结论是缺乏意义的。
下面，让我们再回头看看，多克斯公司是怎样轻易地获得一个不存在漏洞并经得起检验的标题。让规模不大的一组人连续记录6个月的蛀牙数，接着使用多克斯牙膏。之后一定会发生以下的其中一种结果：蛀牙明显增多，蛀牙明显减少，或者蛀牙数量无显著变化。如果是第一或者第三种结果，多克斯公司编档保存好，当然最好是藏在别人找不到的地方，然后重新实验。由于机遇的作用，迟早有一组被测试者将证明有很好的效果，并且这个结果足以好到作为标题直至引发一场广告战。事实上，不管实验者使用的是多克斯牙膏，还是发酵粉，或者还是继续使用原来的品牌，上述结果都会发生。
任何由于机遇产生的差异，在大样本的使用中都是微不足道的，不足以作为广告标题。例如，蛀牙减少2％将不会对销量有多大的提升作用。这更显示了使用小样本的优势。
给定一个足够小的样本，怎样才能完全依靠机遇形成毫无指导性的结论呢？这个事儿你自己也可以试试，而且几乎不费劲。让我们开始抛一枚便士，有多少次是头像朝上的呢？当然是一半的次数，这谁都知道。
好，让我们检验一下……我刚刚抛了10次，有8次头像朝上，实践证明头像朝上的概率为80％。那么，关于牙膏的数据也一样。现在，你自己试一下，也许你会得到50对50的结果，但更有可能是别的结果。你我的结论以相同的可能性偏离50对50的比例。不过，如果你有足够的耐心，抛上1000次，你基本上（虽然不一定）能得到一个接近半数的结果，它才代表了真实的概率。只有在进行了足够多次的实验后，平均数定律才是一种有用的描述，并可用来预测。txt电子书分享平台
没有披露的数据（2）
那么，多少才算够呢？这又是个棘手的问题。它取决于其他的因素，即你采用抽样方式所研究的总体容量有多大、变动程度有多大。值得一提的是，有时样本的规模与看上去的并不一致。
这里有一个典型的案例：几年前，有个小儿麻痹症疫苗实验。一个社区中有450名儿童接种了疫苗，而680名儿童作为对照组没有接种疫苗。看上去，这是个极大规模的医学实验。不久，该区域感染了流行病，在接种疫苗的儿童中，所有人都没有患上小儿麻痹症。对照组的儿童也没有发生。这是怎么了？其实在设计实验时，实验人员忽略了或者没能真正了解到该病的低发生率。一般情况下，这种规模的小组预计只会产生2名患者。因此，实验从一开始便注定是毫无意义的。也许将规模扩大到15至20倍才能产生足以具有说服力的结果。
许多伟大的医学发现——即使昙花一现——也都是同样地急急上马，“要快，”医生这些话归功于威廉？奥斯勒（William Osler）爵士和爱德华？利文斯顿？特鲁多（Edward Livingston Trudeau）。你可以随便选择一个，既然他们都是医生，而且对这个题目都很内行。也许他们都说过这句话，顶多一两个词不同。说，“在还来得及之前，尝试用新的治疗方法。”
我们不能总是只怪罪于医务职业者，有时公众压力和草率的舆论宣传，也会促使没有经过证实的治疗方法匆匆上马，特别是当需求很大而统计背景又很模糊时。这也是以前流行的感冒疫苗几年后卷土重来，从而导致近年来抗组织胺药越来越多的原因。由于疾病的不确定性和缺乏逻辑的严密性，造成了许多不成功“治疗方法”的流行。其实，只要有足够的时间，感冒会自行痊愈。
那么，你如何避免被不科学的结论所愚弄呢？是否每个人都必须成为自己的统计专家，并亲自研究原始数据？情况并非那么糟。在这里，我们介绍一个易于理解的显著性检验方法。简单地说，它是一种反映检验数据以多大的可能性代表实际结论、而不是代表由于机遇产生的其他结论的方法。这便是那些没有透露的数据——假设你是个外行读者，你就不会明白其中的奥秘，但如果你掌握了这个方法，你将理解其中的企图。如果某条信息的来源提供了显著性程度，你将对它有更深的了解。显著性程度通常简单地用概率来表示，就像普查局以19/20的概率保证他们的结果是正确的。大多数情况下，5％的显著性水平已经足够，但是如果有更高的要求，就需要1％的显著性水平，这意味着以99％的概率保证该结果是真实的，任何类似的事情“在实践上几乎是确定”的。还有另一类没有透露的数据，它的遗漏也同样具有破坏性。这类数据表明了事物的变动范围以及与给定平均数的偏离水平。通常情况下，单凭一个平均数来描述事物过于简单，起不到作用，不管这个平均数是均值还是中位数，也不管平均数的具体类型是否已知。对实际情况一无所知经常比获得错误的信息要好，也比知之甚少要安全。举个例子来说，为了满足统计出来的平均家庭，即人的家庭，建造了过多的房子。人的家庭意味着家中有3或4个人，需要两个卧室的房子。虽然是“平均”规模，但是实际上，这种规模的家庭只是所有家庭的少数。“我们为普通家庭建造平均规格的房屋。” 制造商这么说的同时，却忽略了占很大比例的、有更多人或更少人的家庭。导致的后果是某些地区重复建造两个卧室的房子，而低估了更大或更小规模家庭的需求。这是个由具有误导性的、信息不完全的统计数据而造成巨大浪费的实例。对此，一家大型的公共健康团体指出：“当越过算术平均数，去分析实际的家庭人口范围时，我们发现3人或4人的家庭仅占全部家庭的45％，而35％是1人或者2人，剩下的20％则多于4人。” txt小说上传分享
没有披露的数据（3）
在如此精确而且具有权威性的人面前，常识黯然失色。它莫名其妙地战胜了人们通过观察便可发现的事实：许多家庭规模比之小，还有相当一部分比之大。
几乎以相同的方式，《格塞尔常模》（Gesells norms）中遗漏的数据给许多父母带来了痛苦。让我们做这样的假设，就如同许多父母在阅读《星期天》（Sunday）报纸所做的一样，当一对父母读到 “孩子”将在某月份学会坐直的内容时，他们会立刻联想到自己的孩子。如果恰恰孩子在指定的月份还不能坐直，他们一定会认为孩子智力迟钝、发育不正常，或者得出其他同样令人哀怨的结论。既然一半的孩子在那时都还坐不直，那将会有很多家长为此苦恼。当然，从数学的角度来说，这些不愉快将与另一半聪明孩子家长的喜悦相互平衡。但是，当不开心的家长做出种种努力使孩子与标准一致时，将产生很大的伤害。
所有这些并不是为了责备阿诺德？格塞尔（Arnold Gesell）博士或者他的方法。错误出在向下传递信息的筛选过程。信息从研究者经过耸人听闻或所知不多的作者，最后传递给读者，读者根本无法察觉这个过程中遗漏的信息。如果能给常态或者平均数加上反映范围的指标，许多误会将消除。当发现自己的宝贝属于正常范畴时，父母则不必为微小且无意义的差异而担心。几乎没有人能在所有方面都恰好符合标准，就如同抛100次硬币，几乎不可能正好出现50个正面和50个反面。
将“正常的”与“期望的”混为一谈，导致事情变得更糟。格塞尔博士仅仅描述了一些通过观察得到的事实，是那些阅读书和文章的父母错下结论：晚一天或晚一个月学会走路的孩子是低能儿。
由于将正常误解为好的、对的、应该如此的等价物，许多人对阿尔弗雷德？金西博士的那篇著名报告作出了愚蠢的批评，虽然也许他们几乎没有认真读过这篇报告。金西博士被指责有教唆年轻人的嫌疑，因为他向他们灌输某些观念，特别是他将各种普遍存在却未经认可的性行为称为正常。实际上，金西博士只是指出他发现这种行为很普遍，因此称之为正常，但是他并没有为这些行为贴上许可的标记，这些行为是否符合规矩并不属于他的研究范围。只是他恰巧涉及了一个使许多人头疼的话题，涉及这样一个高度�