于”。例如 4＋3≠9，读作四加三不等于九。
“ ”的来源
最早用“ ”表示根号的，是法国数学家笛卡尔。17世纪，笛卡尔在
他的著作《几何学》一书中首先用了这种数学符号。
“ ”这个符号表示两层意思：左边部分“√”是由拉丁字母“r”
演变而来的，它表示“root”即“方根”的意思；右上部的一条横线，
正如我们已经习惯的表示括号的意思，也就是对它所括的数求方根。
正因为“ ”既表示方根，又表示括号，所以凡在运算中遇到“ ”，
必须先做括号内的算式，然后再做其他运算。也就是说先要做根号运算。
奇妙的数字“9”
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循
环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9 来帮助解决问题。我们知
道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S = 。其中a是这个数
1…q
列的第一项，q 是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。
先观察下面两个循环小数：0．6666……＝0．6，0．242424……＝0．24。它们都是
从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它
们写成分数的和的形式：
0．666……＝0．6＋0．06＋0．006……
= 10 100 1000 10000＋Λ
6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 Λ
0．242424……＝0．24＋0．0024＋0．000024……
= 100 10000 1000000＋Λ
24 ＋ 24 ＋ 24 Λ
1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0。6666……的公比是10 ，而
1
0。242424……的公比是100。根据求和公式得：
6
0。66Λ Λ 10 6 = 6
1 =
1 101 9
10
24
0。242424Λ Λ 100 24 24
1 = =
1 1001 99
100
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分
子，让分母由 9 组成，循环节有几位数字，分母是几个 9 就行了。例如：
4
0。4444Λ Λ = 0。4 =
9
56
0。5656Λ Λ = 0。56 =
99
031233123Λ Λ = 0。3123= 3123 = 347
9999 1111
下面再来看看以下两个循环小数：
0。2888…… = 0。28 ； 0。3545454Λ Λ = 0。354它们都不是从小数点后的第一
从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
2 8 8 8
0。28888 =Λ Λ 10 100 1000 10000＋Λ
＋ ＋ ＋ Λ
0。35454Λ Λ = 3 54 ＋ ＋ 54
10 1000 100000
1 1
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以10、100为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
2 100 2 8
0。2888Λ Λ = ＋ = ＋
10 1
1 10 10010
100
2 8 2×9＋8
= ＋ =
10 90 90
= 26 13
=
90 45
54
3 3 54
0。35454Λ Λ = ＋ 100 = ＋
10 1
1 10 100010
100
3 54 3×99＋ 54
= = ＋ =
10 990 990
= 351 = 39
990 110
由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环
节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由 9 和 0
组成，9 的个数等于一个循环节的位数，9 的后面写 0，0 的个数等于循环部
分的位数。例如：
27 2 25 5
0。27777Λ Λ = 0。27 = = =
90 90 18
0。31252525Λ Λ 0。3125= 3125 31 1547
=
9900 4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会
从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。
神奇的“缺 8 数”
“缺 8 数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色 菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是 8，却是 7。于是有人对
他说：“总统先生，你不是挺喜欢 7 吗？拿出你的计算器，我可以送你清一
色的 7。”接着，这人就用“缺 8 数”乘以 63，顿时，777777777 映入了马
科斯先生的眼帘。
“缺 8 数”实际上并非对 7 情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的
数都“一视同仁”的：你只要分别用 9 的倍数（9，18……直到 81）去乘它，
则 111111111，222222222……直到 999999999 都会相继出现。
三位一体 “缺 8 数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿 3 的倍
数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×57＝703703703
轮流“休息” 当乘数不是 3 的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三
位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什
么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中
缺 3、缺 6、缺 9 的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间［10～17］ 的情况，其中 12和15 因是3的倍数，
予以排除。
12345679×10＝123456790（缺 8）
12345679×11＝135802469（缺 7）
12345679×13＝160493827（缺 5）
12345679×14＝172869506（缺 4）
12345679×16＝197530864（缺 2）
12345679×17＝209876543（缺 1）
乘数在［19～26］及其他区间（区间长度等于 7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不
能多吃多占，真是太有趣了！
一以贯之 当乘数超过 81 时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现
象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：
（1）乘数为 9 的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数 2 加到最右
边的 7 上，仍呈现“清一色”。
（2）乘数为 3 的倍数，但不是 9 的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数 1 加到最右边
的 6 上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为 3k＋1 或 3k＋2 型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的 2，但据上
所说，只要把乘积中最左边的数 1 加到最右边的 2 上去之后，所得数为
209876543，是“缺 1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到 1 休
息，结果与理论完全吻合。
走马灯 冬去春来，24 个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全
不变，表现为周期性的重复。“缺 8 数”也有此种性质，但其乘数是相当奇
异的。
实际上，当乘数为 19 时，其乘积将是 234567901，像走马灯一样，原先
居第二位的数 2 却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数成一个公差等于
9 的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
回文结对 携手同行 “缺 8 数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴
趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？
（但有微小的差异，即 5 代以 4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有
之义。）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对 13、14、22、23、31、32、40、
41 等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于 9）也应如此。例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子 “缺 8 数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，
完全承袭上面的这些特征，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖
12345679 具有同样的本领。
例如，506172839 是“缺 8 数”与 41 的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3＝1518518517。
如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。
能被 2 和 5 整除的数
一个数的末一位数能被 2 和 5 整除，这个数就能被 2 和 5 整除。具体地
说，个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。个位上是 0 或是 5 的数，
都能被 5 整除。
例如：128、64、30 的个位分别是 8、4、0，这 3 个数都能被 2 整除。
281、165、79 的个位分别是 1、5、9，那么这 3 个数都不能被 2 整除。
在上面的 6 个数中，30 和 165 的个位分别是 0 和 5，这两个数能被 5 整
除，其他各数均不能被 5 整除。
能被 3 和 9 整除的数
一个数各个数位上的数的和能被 3 或 9 整除，这个数就能被 3 或 9 整除。
7＋4＋1＋6＝18，18 能被 3 整除，也能被 9 整除，所以 7416 能被 3 整除，
也能被 9 整除。
再如：5739 各个数位上的数之和是：
5＋7＋3＋9＝24，24 能被 3 整除，但不能被 9 整除，所以 5739 能被 3 整除，
而不能被 9 整除。
能被 4 和 25 整除的数
一个数的末两位数能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除。具体
地说，一个数的末两位数是 0，或是 4 的倍数这个数就是 4 的倍数，能被 4
整除。一个数的末两位数是 0 或是 25 的倍数，这个数就是 25 的倍数，能被
25 整除。
例如：324，4200，675，三个数中，324 的末两位数是 2424 是 4 的倍数，
所以 324 能被 4 整除。675 的末两位数是 7575 是 25 的倍数，所以 675 能被
25 整除，4200 的末两位数都是 0，所以4200 既能被 4 整�