圆周于 C，连接 AC 即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有唯一
解的情况，那是 A 点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于 3r。当 A 点与
圆心连线大于 3r 时，本题无解。
正方形的维纳斯
据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度
是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形 ABCD，现在作一个半圆，使它
的直径正好在正方形一边 CD 的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点 A
和 B，此时直径为 MN。那么 C 点把 DN 黄金分割，D 点把 MC 黄金分割。
因为 MN 为半圆的直径，所以
BC2＝MC·CN ①
∵ABCD 为正方形
∴BC＝DC
DC2＝MC·CN ②
由于图形的对称性，所以
MD＝CN
MC＝DC＋MD＝DC＋CN ③
由②式和③式，得
DC2＝（DC＋CN）·CN
∴CN = DC
DC DN
因此 C 为 DN 的黄金分割点，同样可以证明 D 为 MC 的黄金分割点。
丰收时节
在喜庆丰收的时候，用编好的苇席围起来做成粮囤。甲、乙、丙三人用
同样长的苇席，甲围成一个正三角形，乙围成一个等腰直角三角形，丙围成
一个圆形。那么，他们谁围的面积大？如果苇席同样高的话，谁围的粮囤存
放的粮食多？
假设苇席的长度为 1 米，正三角形边长为 a，等腰直角三边为 b，圆半径
为 r。
（1）正三角形中：
3a＝1
∴a = 1
3
a 3
S = a = 3a2
2 2 4
4 3
31 2
= = 3 =0。0481
36
（2）等腰直角三角形中：
2b＋ 2b = 1
∴b = 1
2 ＋ 2
S = b2 = 12 = 3 2 2 =0。0421
b 2（2 ＋ 2）2 4
（3）在圆中：
2πr＝1
1
∴r = 2π
S = πr2 = πr2 = π2 =
1 2 1
π 4π =0。07912
所以，在周长相等的情况下，圆的面积最大，正三角形 其次，等腰直角
三角形最小。自然，搭起的粮囤大小也是这样的次序了。
折纸的面积
一张等腰直角三角形的白纸，用 3 种折法：（1）A 点折到 B 点处，形成
一个三角形 DCB；（2）A 点折到 C 点处，形成一个梯形 EDBC；（3）A 点折到
BC 边的中点 F 点处，形成一个不规则四边形 GDBC，这 3 个图形，面积的变化
情况是怎样的呢？
（1）设等腰直角三角形ABC直角边长为a，△ABC面积为 a2，则 1
2
1 1
△DBC的面积 = △ABC的面积 = a2
2 4
（2）∵△AED的面积 = AE·ED = 2a
1 1 1 2
2 2
= a2
1
8
∴梯形EDBC的面积 = △ABC的面积 …△AED的面积
= a2 a3 = a3
1 1 3
2 8 8
（3）∵GA＝GF GA＝AC…GC
设 GC＝x GA＝GF＝a…x
GF2＝GC2＋CF2
（a x）2 = x2 ＋ 2a 1 2
a2 ＋ x2 2ax = x2 ＋ a2 1
4
1
2ax = a2 a2
4
2x = a 3
4
3
x = a
8
∴AG = a a = a
3 5
8 8
在△DFB 中，设 DF＝z，则 AD＝z
DB = 2a z BF = a
2
∵DF2＝DB2＋BF2…2DB·BF·cos45°
∴z2 = （ 2a z）2 ＋2a 2（ 2a z）
1 a 2 2
2 2
z2 = 2a2 ＋z2 2 2az＋ a2 a2 ＋
1 2
za
4 2
5a2 323
= az
4
z = 5 2
a
12
1
△AGD的面积 = ·AD·AG·cos45°
2
= 5 2 5 2
a = 192a2
25
32 12
∴四边形GDBC的面积 = △ABC的面积…△AGD的面积
= a2 =
1 25 71
=
2 192a2 192a2
如果令原△ABC面积为S0，则
1
（1）△DBC的面积 = S0
2
3
（2）梯形EDBC的面积 = S0
4
71
（3）四边形GDBC的面积 = 192S0
擀面杖的学问
你有没有细心地注意过：擀面杖为什么做成中间较粗，两头较细？你又
是否发现：擀面条的时候，为什么要两头用劲擀，而不是在中间用劲擀？
看来这是生活中的小事，但里面却有着数学的道理呢！
大家知道：擀面从数学上来讲，就是要展开成一个平面。要展开得平平
的，就一定要防止形成曲面。你看，有的人不会擀面，擀出来的面不均匀，
十分难看。
如果擀面杖是一样粗，那么由于两只手不可能在擀面杖上各个部位用的
劲儿完全一样，这就容易发生翘面现象，而且等粗的擀面杖在向前推滚的时
候，使两层面片之间接触非常紧密，以至没有相互移动的余地，容易粘住。
当擀面杖两头稍细时，假如光是中间用劲，同样也适得其反，因为中间
用劲，中间部位的平面展得大，两端展得小，面片就会像荷叶一样，从两边
向中间卷起来，这就成了一个非展开面。
只有在两头用劲擀时，使两头细的部位展开的面大一些，而中间部位由
于擀面杖本来就粗，它可以顺从两头的力量，把面片擀得与两头同样程度，
这样擀出的面片，又平整，厚度又均匀。
陈省身数学奖
陈省数学奖为我国数学界最高奖，授予做出突出数学成就的我国数学工
作者，以中青年为主。从 1985 年开始，每年颁发一次。奖金额为人民币 1
万元，由香港亿利达工业发展集团有限公司提供。陈省身数学奖评选委员会
主任是吴文俊，委员有王元、谷超豪、程民德、胡国定、冯康、段学复。
数学奥林匹克竞赛
最早举办中学生数学竞赛的是匈牙利。1894 年匈牙利“物理—数学协
会”通过了在全国举办中学数学竞赛的决议。从此以后，除了在两次世界大
战中和匈牙利事件期间中断过 7 年外，每年 10 月都要举行。匈牙利通过数学
竞赛造就了一批数学大师，像费叶尔、哈尔、黎兹等，使得匈牙利成为一个
数学上享有声誉的国家，同时也引起欧洲其他国家的兴趣，纷纷仿效。1902
年，罗马尼亚由《数学杂志》组织了竞赛。1934 年前苏联在列宁格勒大学主
办了中学数学奥林匹克竞赛，首次把数学竞赛与奥林匹克体育运动联系起
来，以后逐年举行。数学竞赛的大兴起是本世纪 50 年代，据不完全统计，那
时举办全国性数学竞赛的已有近 20 个国家。我国在 1956 年由老一辈数学家
华罗庚等人倡导，举办了首次中学生数学竞赛。各国数学竞赛的兴起为国际
中学生数学奥林匹克的诞生准备了条件。
1956 年，在罗马尼亚罗曼教授的积极倡导下，东欧国家正式确定了开展
国际数学竞赛的计划。1959 年起有了“国际数学奥林匹克”，简称 IMO。第
一届 IMO 于 1959 年 7 月在罗马尼亚古都布拉索拉开帷幕。但前五届的参赛国
仅限于东欧几个国家，60 年代末才逐步扩大，发展成真正全球性的中学生数
学竞赛。为了更好地协调组织每年的 IMO，1981 年 4 月成立了国际数学教育
委员会的 IMO 分委员会，负责组织每年的活动。自此，IMO 的传统一直没有
中断，并逐步规范化。
我国自 1985 年参加国际数学奥林匹克竞赛至今，9 年中参赛 50 人次，
得奖 40 人次，其中获金牌 32 个，银牌 12 个，铜牌 4 个，取得了举世公认的
成绩。
在中学生数学竞赛的影响下，小学数学竞赛也逐步兴起。1986 年 10 月，
“华罗庚金杯”数学邀请赛诞生；1991 年 4 月，“小学生数学奥林匹克”赛
正式开始。
“华杯”赛于 1986、1988、1991、1993 年已举办过四届，竞赛要经过初
赛、复赛、决赛和口试四个阶段。初赛试题通过电视播放，每届都有 200 多
万少年参加。在各省组织初赛、复赛的基础上，选出 3 人（初中 1 人、小学
2 人）参加决赛，这四届分别在北京、深圳、长春和成都市举行。
“小学生数学奥林匹克”赛自 1991 年开始，至 1994 年已举办了四届，
赛程分初赛和决赛。初赛分 A、B、C（C 卷后来又叫民族卷）三种不同程度的
试卷，由各地根据考生的水平自由选定一种，于每年 3 月下旬第一个星期天
举行。决赛统一试卷，并于每年 4 月中旬第二个星期天举行。1993 年暑假在
山西太原举办了第一次全国小学数学奥林匹克总决赛。
菲尔兹奖——数学界最高奖
19 世纪末，随着数学研究工作的深入，数学上的国际交流越来越广泛，
人们迫切需要举行世界性的数学家集会。1879 年第一届国际数学家会议在瑞
士的苏黎士举行，3 年后在巴黎召开了第二届。自 1900 年开始，国际数学家
会议（简称 ICM）每 4 年召开一次，除了在两次世界大战期间中断以外，至
今已举行了 19 次。在 1950 年的会议上，成立了国际数学家的正式组织“国
际数学家联盟”，简称 IMU。IMU 的主要任务是：①促进数学界的国际交流；
②组织召开 ICM 以及各分支、各级别的国际性专门会议；③评审及颁发菲尔
兹（Feilds）奖。
每届 ICM 大会的第一项议程就是宣布菲尔兹奖获奖者的名单，然后授予
获奖者一枚金质奖章和 1500 美元的奖金，最后由一些权威数学家介绍得奖者
的业绩。这是数学家可望得到的最高奖励。
什么是菲尔兹奖？这要从诺贝尔奖说起。诺贝尔设立了物理学、化学、
生物学、医学等科学奖金，但没有数学奖。这个遗憾后来由加拿大数学家菲
尔兹弥补了。菲尔兹 1863 年生于加拿大渥太华，在多伦多上大学，而后在美
国的约翰·霍普金斯大学得到博士学位。他于 1892～1902 年游学欧洲，以后
重回多伦多大学执教。他在学术上的贡献不如作为一个科研组织者的贡献更
大。1924 年菲尔兹成功地在多伦多举办 ICM。正是在这次大�