亚里士多德的三段论- 第19部分

　　　　而这是不可能的。“

　　　　③

　　　　尽管亚里士多德所挑选的这个例子是不合适的，他的论

　　　　①《前分析篇》ｉ。

　　　　４，５７ｂ１。

　　　　②《前分析篇》ｉ。

　　　　４，５７ｂ６。

　　　　③《前分析篇》：ｉ。

　　　　４，５７ｂ３。

……　88

　　　　６７第三章　亚里士多德三段论系统

　　　　证的意思是清楚的。

　　　　依据现代逻辑，它可以这样陈述：“如果α，则β”和“如果非α，则β”形式的两个蕴涵式不能同真。

　　　　因为从易位律我们由第一个蕴涵式得到前提“如果非β，则非α”

　　　　而这个前提与第二个蕴涵式一起由假言三段论定律产生结论“如果非β，则β”。

　　　　根据亚里士多德的意见这个结论是不可能的。

　　　　亚里士多德的最后一点说明是错的。

　　　　前件是后件的否定的蕴涵式“如果非β，则β”

　　　　不是不可能的；它可以是真的，并且根据命题逻辑的定律“如果（如果非ｐ，则ｐ）

　　　　，那么ｐ“

　　　　①

　　　　得出后件β作为结论。

　　　　迈尔在注释这一段的时候说，在这里会得出一个与矛盾律相反的组合，因而是荒谬的。

　　　　②这个注释又一次地显露了迈尔在逻辑上的无知。

　　　　违反矛盾律的不是蕴涵式“如果非β，则β”而仅仅是合取式“β并且非β”。

　　　　亚里士多德之后若干年，数学家欧几里德作出了一个数学定理的证明。

　　　　这个数学定理蕴涵着断定命题“如果（如果非ｐ，则ｐ）

　　　　，那么ｐ。“

　　　　③他首先说：“如果两个正整数ａ与ｂ的积

　　　　①见，Ａ。

　　　　Ｎ。

　　　　怀特海与Ｂ。

　　　　罗素：《数学原理》卷ｉ，剑桥１９１０年版，第１０８页，断定命题P２。

　　　　１８。

　　　　②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第３１页：“由于这样会得到一个与矛盾律相对立的组合，所以它乃是荒谬的。”

　　　　③见《Ｇ瓦拉第文集》（Ｓｃｒｉｔｉ

　　　　ｄｉ

　　　　Ｇｖａｉｌａｔｉ）

　　　　，来比锡－佛罗伦萨，ＣＸＶ，W《关于特第托的一段书与欧几里德的证明》，第５１６—５２７页；参看卢卡西维茨“对于多值命题演算系统的哲学考察”

　　　　（ＰｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅＢｅｍｅｒｋｕｎｇｅｎｚｕｍｅｈｒｗｅｒｔｉｇｅｎｓｙｓｅｍｅｎｄｅｓＡｕｓａｇｅｎｋａｌｋｕZｌｓ）

　　　　，《华沙科学与文学会会刊》ｘｉ卷（１９３０年）

　　　　，第Ⅲ类，第６７页。

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　　　　１７。换位法证明A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７７

　　　　是可以被素数ｎ整除的，则如果ａ是不能被ｎ整除的，则ｂ应当被ｎ整除。“让我们假定ａ＝ｂ，并且它们的积ａ×ａ（ａ２）能被ｎ整除。

　　　　由这个假定得出：“如果ａ是不能被ｎ整除的，则ａ是可被ｎ整除的。”这里我们就有了一个前件为其后件否定的真蕴涵式的例子。

　　　　从这个蕴涵式中欧几里德导出定理：“如果ａ２可被一素数ｎ整除，则ａ可被ｎ整除。”

　　　　１７。换位法证明A用一个前提换位来证明不完全的三段论，既是最简单的也是亚里士多德最经常使用的。

　　　　让我们分析两个例子。

　　　　第二格Ｆｅｓｔｉｎｏ式的证明是这样：“如果Ｍ属于无一Ｎ，但属于有些Ｘ，则Ｎ必不属有些Ｘ也是必然的了。

　　　　因为否定前提是可换位的，Ｎ属于无一Ｍ，但已认定Ｍ属于有些Ｘ；所以Ｎ不属于有些Ｘ。

　　　　达到这个结论是借助于第一格。“

　　　　①

　　　　这个证明基于两个前提：其一是Ｅ命题的换位律：（１）如果Ｍ属于无一Ｎ，那么Ｎ属于无一Ｍ，另一个是第一格的Ｆｅｒｉｏ式：（２）如果Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。

　　　　从这些前提我们必定导出Ｆｅｓｔｉｎｏ式：（３）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。

　　　　亚里士多德直观地进行这个证明。

　　　　在分析他的直观时，我们发

　　　　①《前分析篇》ｉ。

　　　　５，２７ａ３２。

……　90

　　　　８７第三章　亚里士多德三段论系统

　　　　现两条命题演算的断定命题：其一是上面已提到的假言三段论定律，它可以陈述为下列形式：（４）如果（如果ｐ，则ｑ）

　　　　，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）

　　　　，则（如果ｐ，则ｒ）

　　　　］，①

　　　　另一断定命题读作：（５）如果（如果ｐ，则ｑ）

　　　　，那么（如果ｐ并且ｒ，则ｑ并且ｒ）。

　　　　这个断定命题在《数学原理》中，根据皮亚诺的主张，把它叫做因子原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ

　　　　ｏｆ

　　　　Ｆａｃｔｏｒ）。

　　　　它表明我们可用一个公因子“乘”蕴涵式的两边，即，我们可借助于“并且”这个词，把一个新命题ｒ加于ｐ和加于ｑ，②

　　　　我们从断定命题（５）

　　　　开始。

　　　　因为ｐ，ｑ和ｒ都是命题变项。

　　　　我们可以用亚里士多德逻辑的前提去代替它们。

　　　　以“Ｍ属于无一Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于无一Ｍ”代ｑ，以“Ｍ属于有些Ｘ”代ｒ，我们从（５）的前件可得出换位律（１）

　　　　，并且我们可把（５）

　　　　的后件分离出来作为一个新的断定命题。

　　　　这个新断定命题有形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ。

　　　　这个断定命题的后件与断定命题（２）的前件等同，因此，我们可对（６）与（２）应用假言三段论规则，以合取式“Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ”代ｐ，以合取式“Ｎ属于无一

　　　　①见《数学原理》第１０４页，断定命题P２。

　　　　０６。

　　　　②见《数学原理》第１９页，断定命题P３。

　　　　４５。

　　　　合取式“ｐ并且ｒ”在《数学原理》中被称为“逻辑积”。

……　91

　　　　１７。换位法证明A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９７

　　　　Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ“

　　　　代ｑ，而以命题“Ｎ不属于有些Ｘ”

　　　　代ｒ。

　　　　两次运用分离规则，我们就从这个新断定命题得到Ｆｅｓｔｉｎｏ式。

　　　　我想分析的第二个例子稍有不同。

　　　　它就是上面提到过的Ｄｉｓａｍｉｓ式的证明。

　　　　①我们要证明以下的不完全三段论：（７）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｐ属于有些Ｒ。

　　　　这个证明基于第一格的Ｄａｒｉ式：（８）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｒ属于有些Ｐ。

　　　　而且基于Ⅰ命题换位律的两次应用，第一次应用于以下形式：（９）如果Ｐ属于有些Ｓ，则Ｓ属于有些Ｐ，而第二次应用于以下形式：（１０）如果Ｒ属于有些Ｐ，则Ｐ属于有些Ｒ。

　　　　我们以假言三段论的定律和下列断定命题作为命题逻辑的辅助命题。

　　　　下面的断定命题与（５）略有不同，但还可以叫做因子原则：（１）如果（如果ｐ，则ｑ）

　　　　，那么（如果ｒ并且ｐ，则ｒ并且ｑ）。

　　　　（５）与（１）之间的差别在于：公因子ｒ不是象在（５）

　　　　之中那样在第二个位置上，而是在第一个位置上。

　　　　由于合取式是可交换的，而且“ｐ并且ｒ”与“ｒ并且ｐ”是等价的，所以这个差别不影响这个断定命题的正确性。

　　　　亚里士多德所作的证明由前提“ｐ属于有些Ｓ”

　　　　的换位开

　　　　①见第３７页注①。

……　92

　　　　０８第三章　亚里士多德三段论系统

　　　　始。

　　　　在这个处理之后，让我们把（１）中的ｐ代之以前提“ｐ属于有些Ｓ”

　　　　，把ｑ代之以前提“Ｓ属于有些Ｐ”

　　　　，而把ｒ代之以前提“Ｒ属于所有Ｓ”。

　　　　用这个替换，我们从（１）的前件得到换位律（９）

　　　　，并且我们因而可以分离出（１）的后件，即：（１２）

　　　　如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些ｐ。

　　　　（１２）的后件与（８）的前件是等同的。

　　　　应用假言三段论定律，我们能从（１２）和（８）得到三段论：（１３）

　　　　如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于有些Ｐ。

　　　　但这个三段论不是所要求的Ｄｉｓａｍｉｓ式，而是Ｄａｔｉｓｉ式。

　　　　当然，Ｄｉｓａｍｉｓ式能够从Ｄａｔｉｓｉ式根据断定命题（１０）把它的后件换位而导出，亦即应用假言三段论于（１３）与（１０）。

　　　　然而似乎亚里士多德采取了另一个途径：他并不用导出Ｄａｔｉｓｉ式并转换它的结论的办法，而是把Ｄａｒｉ式的结论换位，从而得到三段论：（１４）

　　　　如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｐ属于有些Ｒ。

　　　　并且随后他直观地应用假言三段论定律于（１２）与（１４）。

　　　　三段论（１４）是一个第四格的式，叫做Ｄｉｍａｒｉｓ。

　　　　如我们已经知道的，亚里士多德在《前分析篇》第二卷开头的地方提到这个式。

　　　　以同样的办法我们可以分析所有其它的用换位法的证明。

　　　　由此分析可见：如果我们在第一格的完全的三段论和换位定律之上，加上三条命题逻辑的定律，即假言三段论定律和

……　93

　　　　１８。归谬法证明A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１８

　　　　两个因子定律，我们就得到了除Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ之外的、所有的不完全三段论