ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。
ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。
ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。
ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。
ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。
ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。
所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。
断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。
公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。
无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）
而作出的。
于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。
我们系统的所有公理都是彼此独立的。
这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。
在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。
公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不
…… 140
８２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。
如同用＇０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。
公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。
其它公理均可确证。
公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它＇ ＇ ＇得出０其它均可确证。
公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。
我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。
对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。
Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。
在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。
让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。
公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得＇到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。
用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。
例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，
…… 141
２６。三段论的断定命题的推导A ９２１
公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。
但公理３，即“如果ｂ＋１ｃ并且ａ＋１ｂ，则ａ＋１Ｃ”
a就不能确证。
取３替ａ，２替ｂ，以及４替ｃ，则前提将会是真的，而结论是假的。
从以上的独立性证明得出：没有三段论的单个的公理或“原则”。
１—４这四条公理可以机械地用“并且”
这个字联结成为一个命题，但是它们在这个没有有机联系的合取式中，仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。
２６。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理１—４我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。
我希望在作了前面几节的解释之后，以后的证明就会是完全可以理解的。
在所有三段论的式中，大项用ｃ表示，中项用ｂ表示，小项用ａ表示。
大前提首先陈述，以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。
Ａ。换位定律Ⅶ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—５＇ ＇ ＇５。
ＣＡｂｃＣＩｂａＩａｃ５。
ｂａ，ｃａ，ａｂ×Ｃ１—６＇①在１９２９年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｓ
ｏｆ
ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌｏｇｉｃ）
（见第６２页，注①）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理１—４形式地推出（第１８０—１９０页）。
在上述教科书中说明的方法，由Ｉ。
Ｍ。
波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”
中稍作修改后加以采纳。
见《多明尼卡研究》（Ｄｏｍｉｎｉｃａｎ
ｓｔｕｄｉｅｓ）卷ｉ，牛津１９４８年版。
…… 142
０３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
６。
ＣＩａｂＩｂａ（Ｉ前提的换位律）
Ⅲ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５７＇ C７。
ＣＩｂａＣＡｂｃＩａｃ７。
ｂａ，ｃｂ×Ｃ２—８＇８。
ＣＡａｂＩａｂ（肯定前提的从属律）
Ⅱ。
ｑＩａｂ，ｒＩｂａ×Ｃ６—９＇ ＇９。
ＣｐＩａｂＣｐＩｂａ９。
ｐＡａｂ×Ｃ８—１０＇１０。
ＣＡａｂＩｂａ（Ａ前提的换位律）
６。
ａｂ，ｂａ×１＇１。
ＣＩｂａＩａｂⅥ。
ｐＩｂａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１２＇ ＇１２。
ＣＮＩａｂＮＩｂａ１２。
ＲＥ×１３１３。
ＣＥａｂＥｂａ（Ｅ前提的换位律）
Ⅵ。
ｐＡａｂ，ｑＩａｂ×Ｃ８—１４＇ ＇１４。
ＣＮＩａｂＮＡａｂ１４。
ＲＥ，ＲＯ×１５１５。
ＣＥａｂＯａｂ（否定前提的从属律）
Ｂ。肯定式Ⅹ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—１６＇１６。
ＣｓＩｂａＣＫＡｂｃｓＩａｃ１６。
ｓＩａｂ×Ｃ６—１７＇１７。
ＣＫＡｂｃＩａｂＩａｃ（Ｄａｒｉ）
１６。
ｓＡａｂ×Ｃ１０—１８＇
…… 143
２６。三段论的断定命题的推导A １３１
１８。
ＣＫＡｂｃＡａｂＩａｃ（Ｂａｒｂａｒｉ）
８。
ａｂ，ｂａ×１９＇１９。
ＣＡｂａＩｂａ１６。
ｓＡｂａ×Ｃ１９—２０＇２０。
ＣＫＡｂｃＡｂａＩａｃ（Ｄａｒａｐｔｉ）
Ⅺ。
ｒＩｂａ，ｓＩａｂ×Ｃ１—２１＇ ＇２１。
ＣＫｐｑＩｂａＣＫｑｐＩａｂ４。
ｃａ，ａｃ×２＇２。
ＣＫＡｂａＩｂｃＩｃａ２１。
ｐＡｂａ，ｑＩｂｃ，ｂｃ×Ｃ２—２３＇２３。
ＣＫＩｂｃＡｂａＩａｃ（Ｄｉｓａｍｉｓ）
１７。
ｃａ，ａｃ×２４＇ ＇２４。
ＣＫＡｂａＩｃｂＩｃａ２１。
ｐＡｂａ，ｑＩｃｂ，ｂｃ×Ｃ２４—２５＇２５。
ＣＫＩｃｂＡｂａＩａｃ（Ｄｉｍａｒｉｓ）
１８。
ｃａ，ａｃ×２６＇ ＇２６。
ＣＫＡｂａＡｃｂＩｃａ２１。
ｐＡｂａ，ｑＡｃｂ，ｂｃ×Ｃ２６—２７＇ ＇ ＇２７。
ＣＫＡｃｂＡｂａＩａｃ（Ｂｒａｍａｎｔｉｐ）
Ｃ。否定式
ＸＩ。
ｐＩｂｃ，ｑＡｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ２３—２８＇２８。
ＣＫＮＩａｃＡｂａＮＩｂｃ２８。
ＲＥ×２９２９。
ＣＫＥａｃＡｂａＥｂｃ２９。
ａｂ，ｂａ×３０＇
…… 144
２３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
３０。
ＣＫＥｂｃＡａｂＥａｃ（Ｃｅｌａｒｅｎｔ）
Ⅸ。
ｓＥａｂ，ｐＥｂａ×Ｃ１３—３１＇３１。
ＣＫＥｂａｑｒＣＫＥａｂｑｒ３１。
ａｃ，ｑＡａｂ，ｒＥａｃ×Ｃ３０—３２＇３２。
ＣＫＥｃｂＡａｂＥａｃ（Ｃｅｓａｒｅ）
Ⅺ。
ｒＥａｂ，ｓＥｂａ×Ｃ１３—３３＇ ＇３。
ＣＫｐｑＥａｂＣＫｑｐＥｂａ３２。
ｃａ，ａｃ×３４＇３４。
ＣＫＥａｂＡｃｂＥｃａ３。
ｐＥａｂ，ｑＡｃｂ，ａｃ，ｂａ×Ｃ３４—３５＇３５。
ＣＫＡｃｂＥａｂＥａｃ（Ｃａｍｅｓｔｒｅｓ）
３０。
ｃａ，ａｃ×３６＇ ＇３６。
ＣＫＥｂａＡｃｂＥｃａ３。
ｐＥｂａ，ｑＡｃｂ，ａｃ，ｂａ×Ｃ３６—３７＇３７。
ＣＫＡｃｂＥｂａＥａｃ（Ｃａｍｅｎｅｓ）
Ⅱ。
ｑＥａｂ，ｒＯａｂ×Ｃ１５—３８＇ ＇３８。
ＣｐＥａｂＣｐＯａｂ３８。
ｐＫＥｂｃＡａｂ，ｂｃ×Ｃ３０—３９＇
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