ＣＫＡｃＥａｃＩａｃＣＥａｃＩａｃ６×ＣP６７—P６４P６７。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃ
P６７×P６８。
ｂｃ＇ P６８。
ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ这里应用了排斥的代入规则。
表达式P６８必须被排斥，因为在P６８中用ｃ替代ｂ，我们就得到排斥的表达式P６７。
这个同样的规则也用以得出P７５。
Ⅱ。
ｑＡａｂ，ｒＩａｂ×Ｃ８—６９＇６９。
ＣｐＡａｂＣｐＩａｂ６９。
ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７０＇ ＇７０。
ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ７０×ＣP７１—P６８P７１。
ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＸＩＶ。
ｐＡｃｂ，ｑＩａｃ，ｒＡａｂ×７２＇７２。
ＣＫＡｃｂＮＩａｃＮＡａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７２。
ＲＥ，ＲＯ×７３７３。
ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７３×ＣP７４—P５９
…… 151
２８。我们的公理和规则不充分A ９３１
P７４。
ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂ
P７４×P７５。
ｂｃ
ｃｂ＇ P７５。
ＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ３８。
ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７６＇７６。
ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ７６×ＣP７７—P７５P７。
ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃ排斥的表达式P６８，P７１，P７５与P７７是带有前提Ａｂｃ与Ｅａｂ的第一格的四个可能的形式。
在第一格中，从这些前提不能得出任何正确的结论。
用同样的方法，在两条公理地排斥的形式的基础上，我们能够证明所有四个格中的一切其它不正确的三段论形式也必定被排斥。
２８。我们的公理和规则不充分A用我们的公理和断定规则来证明亚里士多德逻辑的所有已知断定命题，以及用我们的公理和排斥规则来反驳所有不正确的三段论形式，虽然都是可能的，结果仍然远远不能令人满意。
理由在于：在亚里士多德逻辑中，除了三段论的形式外，还有其它许多有意义的表达式。
实际上它们是无穷的，以致于我们不能确信这个三段论系统的所有真表达式是否都能从我们的公理和规则的系统中推导出来，而所有的假表达式是否都能被排斥。
事实上，要找出一个用我们的公理和排斥规则不能排斥的假表达式，是容易的。
例如，那样的表达式有：（Ｆ１）ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ它的意思是：“如果有些ａ是ｂ，那么如果并非所有ａ是ｂ，则
…… 152
０４１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
所有ｂ是ａ“。
这个表达式在亚里士多德逻辑中不是真的，而且不能用断定的公理来证明，但它与这些公理是不矛盾的，把它加在公理之中，并不推出任何不正确的三段论形式。
我们来考虑一下如此扩展的这个三段论的系统是值得的。
从亚里士多德的逻辑定律：８。
ＣＡａｂＩａｂ与５０。
ＣＡｂａＩａｂ以及演绎理论定律：（ｍ）ＣＣｐｒＣｑｒＣＮｐｑｒ我们能够得出下面的新断定命题７８：（ｍ）ｐＡａｂ
ｑＡｂａ，ｒＩａｂ×Ｃ８—Ｃ５０—７８＇７８。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ。
这个断定命题是（Ｆ１）的换位蕴涵式，它与（Ｆ１）一起给出一个等值式。
在这个等值式的基础上，我们可以用函子Ａ定义函子Ｉ：（Ｆ２）
Ｉａｂ＝ＣＮＡａｂＡｂａ。
这个定义读作：“‘有些ａ是ｂ’的意思同于‘如果并非所有ａ是ｂ，则所有ｂ是ａ。
‘“因为表达式”如果非ｐ，则ｑ“与另一表达式”或者ｐ或者ｑ“是等值的，我们也能够说：”’有些ａ是ｂ‘，的意思同于’或者所有ａ是ｂ或者所有ｂ是ａ。
‘“
现在，容易在所谓“欧拉圈”
（Ｅｕｌｅｒｉａｎ
Ｃｉｒｃｌｅｓ）中找到这个扩展系统的一个解释。
如同在通常解释中一样，用圆圈代表词项ａ，ｂ，ｃ，但是在任何两个圆圈都不会彼此相交的条件下，公理１—４得到确证，而形式P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ与５９ａＣＫCＥｃｂＥａｂＩａｃ遭到排斥，因为可能划出两个圆圈彼此位于对方
…… 153
２８。我们的公理和规则不充分A １４１
之外而又都包含于第三个圆圈之中，这就驳倒了形式ＣＫＡｃｂ－ＡａｂＩａｃ，并且又可能划出三个圆圈，它们每一个都独立于其它两个圆圈，这就驳倒了形式ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ。
于是亚里士多德逻辑的所有定律都得到确证，而所有不正确的三段论形式都被排斥。
然而，这个系统不同于亚里士多德三段论系统，因为公式（Ｆ１）是假的，如我们从以下例子中能够看出：“有些偶数可被３整除”是真的，但是不论是“所有偶数都可以被３整除”还是“凡被３整除的数都是偶数”都不是真的。
从这个考虑可以得出结论，我们的公理和规则的系统不是范畴的（Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ）
①，即并非我们系统的任何解释都确证并否证（Ｖｅｒｉｆｙ
ａｎｄ
ｆａｌｓｉｆｙ）
同一个公式或者都是同构的（ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ）。
刚才说明的这一解释确证了（Ｆ１）
，而（Ｆ１）是没有被亚里士多德逻辑确证的。
所以，对于作出亚里士多德逻辑的全面和精确的描述来说，我们的公理和规则系统是不充分的。
为了排除这个困难，我们可以把表达式（Ｆ１）
作为公理来排斥。
但是这个药方是否有效，也还是个疑问；还可以有其它的与（Ｆ１）同一类的公式，甚至无数的这种公式。
问题是要为亚里士多德三段论系统找到一个公理和规则的系统，使得对于该三段论系统来说，我们能够判定所给出的其中任何有意
①一公理系统是范畴的，如果它具有一个模型，而且它的一切模型是彼此同构的。
一个公理系统的两个模型称之为同构的，如果在这两个模型中所使用的个体的两个域之间有着一一对应的关系。
参看阿隆若丘尔其：《数理逻辑导论》W（Ａｌｏｎｚｏ
Ｃｈｕｒ－ｃｈ：“Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
ｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
Ｌｏｇｉｃ“）
，１９５６版，卷１，第３２９—３３０页。
——译者注
…… 154
２４１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
义的表达式是否应被断定或被排斥。
这个最重要的判定问题将于下一章讨论。
…… 155
第五章 判定问题
２９。不能判定的表达式的数目A我把以下的三段论系统的基本元素作为我现在的研究的基础：（１）四条断定的公理１—４。
（２）断定表达式的代入规则（ａ）和分离规则（ｂ）。
（３）两条排斥的公理P５９和P５９ａ。
（４）排斥表达式的分离规则（ｃ）和代入规则（ｄ）。
必须把演绎理论作为一个辅助理论加在这个公理和规则的系统中。
从断定的公理和规则能导出全部已知亚里士多德逻辑的断定命题，亦即逻辑方阵诸定律，换位诸定律，以及所有正确的三段论的式；在排斥的公理和规则的基础上，所有不正确的三段论的形式能被排斥。
但是正如我们已经看到的，这个公理和规则的系统并不足以充分描述亚里士多德三段论系统，因为有着有意义的表达式，如ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ，它既不能被我们的断定的公理和规则所证明，也不能被我们的排斥的公理和规则所推翻。
我把这样的表达式叫做在我们的基础上是不能判定的。
不能判定的表达式在亚里士多德逻辑中可以是真的也可以是假的。
当然，表达式ＣＩａｂＣＮＡａｂ
Ａｂａ是假的。
…… 156
４１第五章 判定问题
为了在这个基础上解决判定问题，有两个问题必须解决。
第一个问题是：不能判定的表达式的数目是有穷的呢还是不是有穷的？
如果它是有穷的，判定问题是容易解决的：我们可以承认真表达式为新的断定公理，而作为公理排斥假的表达式。
然而，当不可断定的表达式的数目不是有穷的时候，这个方法是不能应用的。
我们不能断定或排斥无穷多的公理。
第二个问题在这个情况下提出：是否可能补足我们的公理和规则系统以便使得我们能够判定一个给定的表达式是不是应当被断定或排斥？
这两个问题均已由斯卢派斯基解决了：第一个问题的解决是否定的，办法是表明在我们的基础上的不可判定的表达式的数目不是有穷的；第二个问题的解决是肯定的，办法是加上一条新的排斥规则①。
我从第一个问题开始。
每一个传统逻辑的学生都熟悉用欧拉圈来解释三段论：根据这个解释，词项变项ａ，ｂ，ｃ，都用圆圈表示，前提Ａａｂ当且仅当圆圈ａ或等同于圆圈ｂ或包含于圆圈ｂ的时候才是真的，前提Ｉａｂ当且仅当圆圈ａ与ｂ有着共同的部分时，才是真的。
从�
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