亚里士多德的三段论- 第34部分

　　　　还有一个更大的困难在另一个方向出现：我们能够从Ｓ２用代入ｐＣｐｑ得到断定命题ＣＣ＇　CＮＣｐｑＣｐｑＣｐｑ，但ＣＮＣｐｑＣｐｑ没有被断定，我们也不能从ＣＮＣｐｑｒ用代入得到ＣＮＣｐｑＣｐｑ，因为ＣＮＣｐｑｒ不是一个断定命题。

　　　　我们不能说：假定Ｃｐｑ被断定了，那么，就会得出ＣＮＣｐｑｒ。

　　　　断定一个假的表达式是一个错误。

　　　　而我们不能希望用一个错误来证明任何东西。

　　　　因此公式Ⅰ看来不是对所有的表达式而只是对那些被断定的表达式才是正确的。

　　　　照我看，只有一个办法来避免这些困难：那就是把排斥引入演绎理论。

　　　　我们作为公理排斥变项ｐ，并且承认清楚的排斥规则（ｃ）和（ｄ）。

　　　　在这个基础上就能够容易地表明Ｃｐｑ必定被排斥。

　　　　因为我们从公理（P１０）ｐ以及断定命题（１）ＣＣｐ用排斥规则可得：（１）×Ｃ（P１２）—（P１０）

　　　　（P１２）ＣＣｐ（P１２）×（P１３）ｐＣｐ，ｑｐ＇（P１３）Ｃｐｑ。

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　　　　６５１第五章　判定问题

　　　　现在我们能够证明如果Ｃｐｑ被排斥，ＣＮＣｐｑｒ必定也被排斥；以及相反地，如果ＣＮＣｐｑｒ被排斥，Ｃｐｑ必定也被排斥。

　　　　从（P１３）Ｃｐｑ开始，我们用Ｓ２及排斥规则得到：

　　　　Ｓ２。

　　　　ｐＣｐｑ×（１４）

　　　　＇（１４）ＣＣＮＣｐｑＣｐｑＣｐｑ（１４）×Ｃ（P１５）—（P１３）

　　　　（P１５）ＣＮＣｐｑＣｐｑ（P１５）×（P１６）

　　　　ｒＣｐｑ＇（P１６）ＣＮＣｐｑｒ。

　　　　在另一方向从（P１６）用Ｓ１我们容易地得到Ｃｐｑ：

　　　　Ｓ１。

　　　　ｐＣｐｑ，ｑｒ×（１７）

　　　　＇（１７）ＣＣｐｑＣＮＣｐｑｒ（１７）×Ｃ（P１３）—（P１６）

　　　　（P１３）Ｃｐｑ。

　　　　公式Ⅰ现在已充分地被证明了。

　　　　然而，我们必须校正我们前面的演绎等值式的定义，说成：两个表达式就某些断定命题而言是演绎地互相等值的，当且仅当我们能够用这些断定命题和推论规则来证明：如果那些表达式之一被断定，另一个必定也被断定，或者如果它们中的一个被排斥，其它一个必定也被排斥。

　　　　从这个定义可知通常的等值式不是演绎等值式的一个必要的基础。

　　　　如果Ｑαβ是一个断定命题，对于Ｑαβ而言，α是演绎地等值于β这是真的；但是如果对于某些断定命题而言α

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　　　　３２。化归为初等表达式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７５１

　　　　是演绎地等值于β，那么Ｑαβ是一个断定命题就并不总是真的了。

　　　　以刚才考虑的演绎等值式为例：

　　　　Ｃｐｑ～ＣＮＣｐｑｒ对Ｓ１与Ｓ２而言。

　　　　其相应的通常的等值式ＱＣｐｑＣＮＣｐｑｒ不是一个断定命题，因为它对于ｐ１，ｑ０，ｒ１来说乃是假的。

　　　　＇很明显，演绎等值的关系是自返的，对称的和传递的。

　　　　有这种情况，对于某些断定命题而言，α是演绎地等值于两个表达式β并且γ。

　　　　那就是说：如果α被断定，则β被断定并且γ被断定，并从而它们的合取式“β并且γ”被断定；而反之，如果β和γ两者，或它们的合取式“β并且γ”被断定了，那么α也被断定。

　　　　再有，如果α被排斥，则合取式“β并且γ”必定被排斥，而且在这个场合，只要β和γ两者之一应被排斥就足够了，而反之，如果它们中有一个被排斥，α必定也被排斥。

　　　　３２。化归为初等表达式A我们的判定的证明是基于以下定理：（ＴＡ）亚里士多德三段论系统的每一个有意义的表达式都能够用一个演绎地等值的方法（对于演绎理论的断定命题而言）

　　　　化归为一组初等表达式，亦即具有形式

　　　　Ｃα１Ｃα２Ｃα３…

　　　　Ｃαｎ１ＣαｎC的表达式，其中所有α都是三段论系统的简单表达式，亦即Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ，和Ｏａｂ类型的表达式。

　　　　所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者

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　　　　８５１第五章　判定问题

　　　　能够容易地被变形为初等表达式。

　　　　换位定律，如ＣＩａｂＩｂａ或ＣＡａｂＩｂａ，都是初等表达式。

　　　　所有三段论都是ＣＫαβγ形式，而这类表达式都是演绎地等值于ＣαＣβγ形式的初等表达式（对于输出和输入定律而言）。

　　　　但是还有三段论系统的其它有意义的表达式，有些是真的，有些是假的，却并不是初等表达式。

　　　　我们已经碰到过这样一个表达式，即是断定命题７８，ＣＣCＮＡａｂＡｂａＩａｂ，它的前件不是一个简单表达式，而是一个蕴涵式。

　　　　当然，有无穷的这样的表达式，并且它们全都应当在判定的证明中加以考虑。

　　　　定理（ＴＡ）在演绎理论的一个类似的定理（ＴＢ）的基础上能够容易地被证明：（ＴＢ）每一个以Ｃ和Ｎ为原始词项的演绎理论的有意义的表达式，都能够用一个演绎地等值的方法（对于有穷数的断定命题而言）化归为一组

　　　　Ｃα１Ｃα２Ｃα３…

　　　　Ｃαｎ１ＣαｎC形式的初等表达式，其中所有α都是简单表达式，亦即或者是变项或者是它们的否定式。

　　　　这个定理的证明是不容易的，但是，由于它对于判定问题来说乃是精华所在，所以不能加以省略。

　　　　下面所作的（ＴＢ）

　　　　的证明是为对形式逻辑有兴趣的读者提出的；没有受过数理逻辑训练的读者可以把（ＴＡ）

　　　　，（ＴＢ）

　　　　两条定理当作是认可的东西。

　　　　令α是演绎理论的任意的一个有意义的表达式，并且它不同于变项（它可以，但是并不需要，加以变形）

　　　　：如我们所知，每一个这样的表达式，都能够用演绎地等值的方法，对

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　　　　３２。化归为初等表达式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９５１

　　　　于断定命题Ｓ１与Ｓ２而言：Ｓ１。

　　　　ＣｐＣＮｐｑＳ２。

　　　　ＣＮｐ变形为表达式ＣＮαπ，其中π是一个不在α中出现的变项。

　　　　因此，我们有变形Ⅰ：Ⅰ。

　　　　α～ＣＮαπ对于Ｓ１与Ｓ２而言。

　　　　变形Ⅰ允许我们把所有有意义的表达式化归为蕴涵式（有一个变项作为它们的最后的词项）。

　　　　现在我们必须试着将ＣＮαπ的前件Ｎα变为一个变项或它的否定。

　　　　为此目的，我使用以下三项变形：Ⅱ。

　　　　ＣＮαβ～Ｃαβ对于Ｓ３与Ｓ４而言Ⅲ。

　　　　ＣＮＣαβγ～ＣαＣＮβγ对于Ｓ５与Ｓ６而言Ⅳ。

　　　　Ｃαβγ～ＣＮαγ，Ｃβγ对于Ｓ７，Ｓ８，Ｓ９而言相关的断定命题是：对于变形Ⅱ：Ｓ３。

　　　　ＣＮｐｑＣｐｑＳ４。

　　　　ＣｐｑＣＮｐｑ；对于变形Ⅲ：Ｓ５。

　　　　ＣＮＣｐｑｒＣｐＣＮｑｒＳ６。

　　　　ＣｐＣＮｑｒＣＮＣｐｑｒ；对于变形Ⅳ：Ｓ７。

　　　　ＣｐｑｒＣＮｐｒＳ８。

　　　　ＣｐｑｒＣｑｒＳ９。

　　　　ＣＮｐｒＣｑｒＣｐｑｒ。

　　　　现在让我们解释用这些变形我们怎样能够从ＣＮαπ的前件中得到一个变项或它的否定式。

　　　　在ＣＮαπ中出现的表达式

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　　　　０６１第五章　判定问题

　　　　α，像Ｃ—Ｎ系统的每一个有意义的表达式一样可以或者是一个变项，或者是一个否定式，或者是一个蕴涵式。

　　　　如果α是一个变项，就不需要任何变形；如果它是一个否定式，我们得到ＣＮαβ，而根据变形Ⅱ，两个否定互相抵消；如果它是一个蕴涵式，我们从ＣＮＣαβγ得到等值的表达式ＣαＣＮβγ，它的前件α比原来的前件ＮＣαβ简单，这个新的α又可以是一个变项（因而也勿需变形）

　　　　，或是一个否定式（这个情况已经解决过了）

　　　　，或是一个蕴涵式。

　　　　在最后这个情况中，我们从ＣＣαβγ得到两个表达式ＣＮαγ和Ｃβγ，它们有着比原前件Ｃαβ简单一些的前件。

　　　　Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ的重复地应用，我们必定最后地在一个前件中达到一个变项或它的否定式。

　　　　现在让我们用例子来看一看这些变形是如何工作的。

　　　　第一个例子：ＮＣｐＮＣｐ～ＣＮＣｐｑ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑ～ＣＮＣｐｑ由Ⅱ；ＣＮＣｐｑ～ＣｐＣＮｐｑ由Ⅲ。

　　　　ＮＣｐ就这样化归为表达式ＣｐＣＮｐｑ，它在前件中有变项ｐ。

　　　　ＣｐＣＮｐｑ是一个初等表达式。

　　　　第二个例子：ＣｐｑｐＣｐｑｐ～ＣＮＣｐｑｐｒ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑｐｒ～ＣｐｑｐＣＮｐｒ由Ⅲ；ＣｐｑｐＣＮｐｒ～ＣＮＣｐｑＣＮｐｒ，ＣｐＣＮｐｒ由ⅣＣＮＣｐｑＣＮｐｒ～ＣｐＣＮｑＣＮｐｒ由Ⅲ。

　　　　Ｃｐｑｐｐ就这样化归为两个表达式：ＣｐＣＮｑＣＮｐｒ与ＣｐＣＮCｐｒ，两者在前件中都有变项ｐ；两者都是初等表达式。

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　　　　３２。化归为初等表达式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１６１

　　　　第三个例子：ＣｐｑｐＣｐｑｐＣｐｑｐＣｑｐ～ＣＮＣｐｑＣｑｐｒ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑＣｑｐｒ～ＣｐｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅲ；ＣｐｑＣＮＣｑｐｒ～ＣＮＣｐｑＣＮＣｑｐｒ，ＣｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅳ；ＣＮＣｐｑＣＮＣｑｐｒ～ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅲ。

　　　　ＣｐｑＣｑｐｐ化归为两个表达式ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ以及Ｃ