Ｍ１３仍然是与Ｍ９相同的真值表，只是用另一种标志书写出来而已。
Ｗ代表与Ｍ相同的函子，应当具有与Ｍ相同的性质。
如果Ｍ表示可能性，那末，Ｗ也同样表示可能性，并且在这两个可能性之间不可能有任何区别。
虽然Ｍ和Ｗ是同一的，但当他们在同一公式中出现的时候，他们就显出差别。
它们类似于一对样子非常相像的孪生子，当分别地遇到他们的时候，不能加以区别，而当看到他们在一起时，就能立即将他们识别出来。
为了了解这一点，让我们考察一下表达式ＭＷｐ，ＷＭｐ，ＭＭｐ和ＷＷｐ。
如果Ｍ和Ｗ是同一的，那末，这四个表达式也应当彼此同一。
但是，它们并不同一。
用我们的真值表可以证明，下述公式是被断定的：７２。
ＭＷｐ和７３。
ＷＭｐ，因为Ｗｐ只有１或者２作为它的真值，而Ｍ１正如Ｍ２＝１；同样，Ｍｐ只有１或者３作为它的真值，而两者Ｗ１＝１和Ｗ＝３１。
另一方面，可以证明，公式７４。
ＣＭＭｐＭｐ和７５。
ＷＷｐＷｐ是被断定的，而因为不论是Ｍｐ还是Ｗｐ，都是被排斥的，那末ＭＭｐ和ＷＷｐ也应当是被排斥的，因而我们有
P７６。
ＭＭｐ和P７７。
ＷＷｐ，所以，我们不能在７２或７３式中用Ｍ代替Ｗ或用Ｗ代替Ｍ，因为这样我们会从一个断定的公式得出一个排斥的公式。
至今还没有任何人注意到存在成对的可能性（与此相联系也存在成对的必然性）这个有趣的逻辑事实，它是由我的
…… 256
４２第七章 模态逻辑系统
四值模态系统而得出的另一个重大的发现。
这个事实非常精密并且要求为古代逻辑学家已经知道的形式逻辑有一个很大的发展。
存在这对孪生子既说明了亚里士多德或然三段论理论中的错误和困难，也证明了他关于偶然性直觉观念的正确。
５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A我们已经知道，亚里士多德模态逻辑中的第二个巨大困难是与他关于某些偶然命题为真这个假设有关。
根据断定命题５２（它是我们的公理５１的变形）
５２。
ＣＫδｐδＮｐδｑ，我们得出下述结果：
５２：δＭ，ｐα，ｑｐ×７８＇ ＇ ＇７８。
ＣＫＭαＭＮαＭｐ
７８。
ＣP７９—P７P７９。
ＫＭαＭＮα这表示：表达式７９对于任一命题α，都是被排斥的，因为α在这里是一个“解释变项”。
因而，不存在这样的α，它能验证两个命题“α是可能的”和“非α是可能的”
，也就是说，不存在真的偶然命题Ｔα，如果Ｔｐ是像亚里士多德所作的那样，定义为Ｍｐ和ＭＮｐ的合取，即８０。
ＣδＫＭｐＭＮｐδＴｐ。
这个结果用真值表的方法得到证实。
采用Ｋｐｑ号的通常定义：８１。
ＣδＮＣｐＮｑδＫｐｑ，我们得出关于Ｋ的真值表Ｍ１４，并且我们有：
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ５４２
当ｐ＝１：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３当ｐ＝２：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ２ＭＮ２＝Ｋ１Ｍ３＝Ｋ１３＝３当ｐ＝３：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ３ＭＮ３＝Ｋ３Ｍ２＝Ｋ３１＝３当ｐ＝０：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ０ＭＮ０＝Ｋ３Ｍ１＝Ｋ３１＝３。
我们看到，合取式ＫＭｐＭＮｐ具有恒值３，因而永远都不是真的。
因此，Ｔｐ＝３，也就是说，不存在在定义８０所指意义上的真的偶然命题。
然而，亚里士多德认为“明天可能发生海战”和“明天可能不发生海战”
两个命题今天可以都是真的。
因此，按照他的偶然性观点，是可以有真的偶然命题的。
有两个方法可以避免亚里士多德的观点和我们的模态逻辑系统之间的这种矛盾：我们应当或者否定命题可以同时既是偶然的又是真的，或者修改亚里士多德的偶然性定义。
我选择了第二个方法，使用了上面所揭示的可能性成对的形态。
抛掷一个钱币，可以落下或者钱币的正面或者钱币的反面，换句话说，可能落下正面，也可能不落下正面。
我们倾向于将两个命题都看作是真的。
但是，如果第一个“可能性”用与第二个可能性相同的函子去标志的话，它们就不能两个都
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６４２第七章 模态逻辑系统
真。
第一个可能性是与第二个可能性完全相同的，但是，从这里不应得出，它就应该用同样的方式去标志。
落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。
我们可以用Ｍ标志一个可能性，而用Ｗ标志另一个可能性。
带有肯定主目的命题“ｐ是可能的”
可以表达为Ｍｐ；带有否定主目的命题“非ｐ是可能的”可以表达为ＷＮｐ；或者第一个作为Ｗｐ，第二个作为ＭＮｐ。
这样，我们就获得两个偶然性函子，譬如说是Ｘ和，它们的定义如下：e８２。
ＣδＫＭｐＷＮｐδＸｐ和８３。
ＣδＫＷｐＭＮｐδｐ。
e不可能将这些定义译成日常的语言，因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。
我们就将它们称为“Ｍ－可能的”和“Ｗ－可能的”
，“Ｘ－偶然的”和“－偶然的”。
这样，我们就e可以概略地说：“ｐ是Ｘ－偶然的”表示“ｐ是Ｍ－可能的并且Ｎｐ是Ｗ－可能的”
，而“ｐ是－偶然的”表示“ｐ是Ｗe－可能的并且Ｎｐ是Ｍ－可能的”。
从定义８２和８３，我们可以推出Ｘ和γ的真值表。
我们得出：当ｐ＝１：Ｘ１＝ＫＭ１ＷＮ１＝Ｋ１Ｗ０＝Ｋ１２＝２；１＝ＫＷ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３。
e当ｐ＝２：Ｘ２＝ＫＭ２ＷＮ２＝Ｋ１Ｗ３＝Ｋ１＝１；２＝ＫＷ２ＭＮ２＝Ｋ２Ｍ３＝Ｋ２３＝０。
e当ｐ＝３：Ｘ３＝ＫＭ３ＷＮ３＝Ｋ３Ｗ２＝Ｋ３２＝０；
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ７４２
３＝ＫＷ３ＭＮ３＝Ｋ１Ｍ２＝Ｋ１＝１。
e当ｐ＝０：Ｘ０＝ＫＭ０ＷＮ０＝Ｋ３Ｗ１＝Ｋ３１＝３；０＝ＫＷ０ＭＮ０＝Ｋ２Ｍ１＝Ｋ２１＝２。
e真值表Ｍ１５表明，不论是Ｘｐ还是ｐ，对于ｐ的某些值证明是e真的（Ｘｐ，当ｐ＝２；ｐ，当ｐ＝３）。
现在已经证明，ＫＭｐＭＮｐe具有恒值３；同样可以表明，ＫＷｐＷＮｐ具有恒值２。
这样，我们就得到两个断定的公式：８４。
ＸＫＷｐＷＮｐ和８５。ＫＭｐＭＮｐ。
e这表明在我们的系统中存在真的Ｘ－偶然命题和真的－偶e然命题。
我们就可以将在亚里士多德意义上的偶然性和我们的四值模态逻辑协调起来。
从Ｍ１５也得出，Ｘ－偶然性和－偶然性是孪生子。
如果e我们在Ｍ１５中用３代替２，用２代替３，那末，Ｘ就变成，而e变成Ｘ。
然而，Ｘ跟是有区别的，其区别的程度比Ｍ和Ｗe的区别更大，因为命题Ｘｐ和ｐ是相互矛盾的。
容易看到，借e助于Ｍ１５，下述等式是成立的：（γ）Ｘｐ＝Ｎｐ＝Ｎｐ和 （δ）ｐ＝ＸＮｐ＝ＮＸｐ。
e
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８４２第七章 模态逻辑系统
矛盾律和排中律对Ｘｐ和ｐ都是真的，也就是说，我们有：e８６。
ＮＫＸｐｐ和８７。
ＨＸｐｐ。
e这表示，一个命题不能同时既是Ｘ－偶然的又是－偶然的，e而任何命题或者是Ｘ－偶然的，或者是－偶然的。
Ｘ－偶然e命题的否定是－偶然命题，反过来，－偶然命题的否定是e eＸ－偶然命题。
这听起来好像是自相矛盾的，因为我们习惯于认为：那种非偶然的东西，或者是不可能的，或者是必然的，不可能和必然是与同一种可能性发生联系的。
但是，非Ｘ－偶然的，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｍ－必然的，这种说法是不正确的；应该说，那种非Ｘ－偶然的东西，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｗ－必然的，而那种或者Ｍ－不可能、或者Ｗ－必然的东西是与－偶然的东西等值的。
e同样的误解是由于围绕断定命题８进行的争论而引起的，
８。
ＣＫＭｐＭｑＭＫｐｑ，它在我们系统中是被断定的。
刘易士（Ｃ。
Ｉ。
Ｌｅｗｉｓ）在他某些模态系统中断定了公式：８９。
ＣＭＫｐｑＫＭｐＭｑ，但是拒绝了它的逆换式，即８式。
他使用了下述论证①：“如果ｐ和ｑ两个都真，是可能的，那末，ｐ是可能的并且ｑ是可能的。
这个蕴涵式不能逆换过来。
例如，可能读者将立即看到它，也可能他不立即看到它。
但是，不可能他既立即看到它又不立即看到它“。
这个论证是缺少说服力的。
这里“读者”
指的是什
①刘易士和朗佛（Ｃ。
Ｈ。
Ｌ。
Ｌａｎｇｆｏｒｄ）
：《符号逻辑》，（Ｓｙｍｂｏｌｉｃ
Ｌｏｇｉｃ）
，纽约和伦敦，１９３�
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