数学革命，在其一生当中，牛顿一直被认为引起了一场革命。在其《自然哲学的数学原
理》中，牛顿导致了微积分革命和力学科学的革命，因此，他受到了与他同时代人的赞
赏。牛顿在历史上独领风骚，他是一位非凡的人物，因为他在诸多不同领域中做出了如
此之多十分重要的贡献如：纯数学和应用数学；光学、及光和颜色的理论；科学仪器的
设计；力学理论的整理和编纂以及这一学科基本概念的系统阐述；物理学的主要概念
（质量）的发明；新的科学方法论的系统的论述等等。他还对热、对化学和物质理论、
对炼丹术、年代学以及基督教《圣经》的解释和其他一些问题进行了研究。
牛顿的数学革命分为两个方面：微积分的发明（他与莱布尼兹共享此荣），以及数
学在物理学和天文学中的应用。正是这后一方面导致了（相对于其数学革命而言的）科
学中的牛顿革命。当然，在牛顿的前辈中，也曾有过一些伟大的人物探索过用数学原理
来陈述自然哲学，如西蒙·斯蒂文，伽利略，开普勒，沃利斯，胡克，惠更斯等。从这
个意义上讲，牛顿革命是（可以追溯到科学革命之初的储多学者所创造出的成果的顶峰，
而不是牛顿的某种全新的创造、把牛顿的《原理》与开普勒的《新天文学》、伽利略的
《两种新科学》、沃利斯的《力学》、胡克有关运动问题的论述、或惠更斯（有关摆钟
的论文里）关于匀加速运动的论述等作最简单的比较就可以看出，在深度、范围和技巧
几个等级方面，存在着某种不同。正是由于总体规模的猛增，牛顿的《原理》成了“物
理学革命”的“新纪元”［正如克雷洛（1714）所说的那样〕。
时常有人断言，牛顿把诸如开普勒、侧利略或明克等科学家们完全不同的思想或原
理汇集在一起，并对它们进行了综合。然而，很难说牛顿富有革命性的科学就是这些思
想的合成或组合，因为实际上，牛顿在其《原理》中把它们的荒谬不实之处披露了出来。
“真”科学不可能只是荒谬不实的思想或原理的产物。牛顿在《原理》中展示的此类错
误观点包括：
开普勒：三大行星定律对行星运动的“真实”描述；作用在那些天体上的太阳力随
着距离的增加而减弱，而且只是在接近黄道平面处发挥作用。太阳肯定是一个巨大的磁
铁；任一运动的物体由于其“固有的惰性”，一旦动力不再发挥作用，它就会停止运动。
笛卡尔：以太之海运载着行星在巨大的旋涡中到处运动；原子并不（也不可能）存
在，真空或虚空也是不存在的。
伽利略：落向地面的物体的加速度在整个过程中保持不变，即使离开地球落向月球
的物体亦是如此；月球对海洋的潮汐运动不可能有任何影响（或成为其原因）。
胡克：作用于一个（具有惯性运动分量的）物体上、遵循平方反比律的同心力，导
致了这样一种轨道运动，即其速度与其到力的中心的距离成反比：这一运动定律与开普
勒的面积定律是一致的。
我们还可以进一步看到，牛顿否定了“离心”力的存在，而这种离心力恰恰是惠更
斯运动物理学发展的基础。牛顿用“向心”力这个概念取代了它们，牛顿之所以选用这
个名称，是因为它与惠更斯的“vis centrifugs（离心力）”有些相似——尽管意义不
同且所指方向相反。
把牛顿的《哲学原理》（他常常用这个名称来指他的著作）与笛卡尔的《哲学原理》
加以比较和对照，就会看出牛顿革命的本质。具有批评眼光的读者会发现，笛卡尔《原
理》的一个异常之处就是，它避开数学，而热中于进行哲学、物理学（或自然哲学）的
哲学的研究。在这本书的四个部分中，只有两个部分专门讨论物理学和宇宙的涡旋体系
的发展。笛卡尔确实在这里提出了碰撞的数量规则，但我们已经知道，在每一个例子中
这些规则都是错的。笛卡尔把这些规则作为一个子集纳入了他的第三自然定律之中。不
过，当沃利斯在《皇家学会哲学学报》发表正确的规则时，它们有了一个更为严格也更
为准确的称谓：“运动定律”。牛顿在其《哲学原理》一开始，就提出了一组定义，随
后是一些“运动的公理或运动定律”，其中前两条与笛卡尔的自然定律的前两条大致相
当。牛顿似乎把笛卡尔的“regulae quaedam sive leges naturae ”（“数量规则或自
然法则”）转变成了他的“axiomata sive leges molus”（“运动公理或运动法则”）。
牛顿的运动三定律和他所归纳的理论力学的公理为：（1）惯性原理：任一物体都将继续
保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于其上；（2）力与其动力效应之间
的关系，即一次推动（或相继产生）的外力会使物体的动量沿外力作用的方向发生变化
（对相继产生的力而言，是指某一单位时间内的变化）；（3）作用力和反作用力相等。
牛顿还把笛卡尔的标题“Principia Philosophiae 〔哲学原理）”改成了“Philo
soPhiae naturalis principia mathematica（自然哲学的数学原理）”，他因此夸耀说，
在使原理数学化的过程中，他创立了一门非同一般哲学的自然哲学。牛顿《原理》的数
学化特点不仅表现在对这些原理的阐述上，而且还表现在对命题的证明和应用上；它还
阐明了一种在自然哲学中使用数学的重要的新的时尚。
牛顿的《原理》在许多方面都堪称杰作。它包含了纯数学最初的一些成果（极限理
论和圆锥截面几何学），它发展了动力学的主要概念（质量、动量、力），它整理和编
纂了动力学的诸项原理（运动三定律），它还说明了开普勒行星运动的三大定律的动力
学意义及伽利略以下实验结论的动力学意义：重量不同的物体（在地球的同一位置）自
由下落时有着相同的加速度和相同的速度。它阐述了曲线运动定律、对摆的运动的分析
以及表面约束运动的本质，它还说明了怎样处理连续变化的力场中粒子的运动问题。牛
顿还指出了分析波的运动的方法，并探讨了物体在各种具有阻力的媒介中运动的方式。
书的最后一部分亦即第三篇，可谓是全书的顶峰，在这里，他揭示了受万有引力、以及
一种广义力的作用（其中一个特别的现象就是众所周知的地球的重量）制约的牛顿的宇
宙体系。牛顿在这部分讨论了行星及其卫星的轨道的长度，彗星的运动和运动轨道，以
及海洋中潮汐现象的产生等。
不妨考虑一下月球运动明显的不规则问题，《原理》对这个问题的探讨是该书的思
想具有新水平的一个实例。在过去的一千五百年间，天文学家们在处理月球运动问题时，
总是在构造几何图式，而不考虑原因。而现在，牛顿指出，摄动现象是“月行差”的主
要根源，而这种摄动则是太阳引力和地球引力对月球的作用的主要结果。随着1687年
《原理》的出版，人们就有可能从第一原理或第一原因开始，通过对结果的研究来处理
这一问题。正如《原理》第二版的评论者们注意到的那样，这是一种全新的处理这类问
题的方法。
也许，在所有这些成就中，最伟大的就是对潮汐的解释，即潮汐是太阳和月亮的引
力对海洋的吸引作用导致的。“海洋中的潮涨潮落”，牛顿断言（bk．3，prop．24），
“源于太阳和月亮的作用。”他分析了岁差和月球对地球假定的赤道鼓起区不平衡的吸
引作用，以此为基础，他预言，地球的形状呈扇圆形；从这里我们可以看出牛顿所取得
的成就的重要意义。
从《原理》所表现出的致力于惯性物理学的研究这一点，一些分析家们可能会看出
此书的伟大所在；对于牛顿来讲，惯性是质量的一种特性。牛顿是第一位明确区分质量
与重量的作者，而且他进一步认识到，物体的质量具有两种各自独立彼此不同的方面。
质量是物体阻止被加速或阻止使其运动状态或静止状态发生变化的一种量度；这就是它
的惯性。（牛顿有时使用“惯性力”或“vis inertiae”这样的术语—一这种类型的力
有别于那种“活动的’功或能产生加速作用的力。）不过，物体的质量同时也可以作为
对给定的引力场的一种反应的量度。那么，在物体对加速作用的（惯性的）阻力与其对
某一引力场的（引力的）反应之间为什么又会有着某种联系呢？这在经典物理学中是找
不到答案的。牛顿独具慧眼，他认识到，对这种关系的了解必须以实验为依据，所以，
他着手进行实验以证明惯性与重力之间的这种恒定的关系。然而，只有在爱因斯坦的相
对论中才能看到“惯性”质量与“引力”质量等价的逻辑必然性。爱因斯坦极为佩服牛
顿，因为牛顿对这个问题有了如此深刻的见识，而且认识到了，他解释这种等价关系的
理由只能以实验为依据。
牛顿《原理》中的数学的本质常常被人误解。如果只是泛泛地一页一项翻着，那就
会给人一种印象，即牛顿所使用的数学是几何学尤其是古希腊的几何学。其风格似乎是
欧几里德式或阿波罗尼奥斯式的。然而，更仔细地考虑一下就会发现，牛顿是在用微积
分阐述问题，他运用几何学方法根据不同的比率和比例来陈述各种关系，并且同时，把
“极限”看作是一种等于零的（或是初始的）基本量。因此，尽管牛顿没有详述他以后
系统地运用的微积分（或“流数”）的规则系统，但他的确大量地运用了极限方法，这
显然等价于使用了微积分，或者说，所使用的极限方法可以很容易地转换成牛顿算法或
莱布尼兹算法的符号体系。马奎斯·德·洛皮塔尔�